《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 直线$3x+\sqrt{3}y - 1 = 0$的倾斜角$\alpha$的大小为 ( )
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $150^{\circ}$

答案： C [
∵直线的斜率$k =-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$,
∴$\alpha = 120^{\circ}$. 故选 C.]

2. “$a = 2$”是“直线$y = -ax + 2$与$y = \frac{a}{4}x - 1$垂直”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A [由$a = 2$得两直线斜率满足$( - 2)\times\frac{2}{4}=-1$,即两直线垂直;由两直线垂直得$( - a)\times\frac{4}{a}=-1$,解得$a=\pm2$. 故选 A.]

3. (2023·安徽亳州蒙城第一中学校考模拟预测)图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500 m口径抛物面射电望远镜,反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面),其边缘距离底部的落差约为156.25 m,它的一个轴截面为开口向上的抛物线$C$的一部分,放入如图2所示的平面直角坐标系$xOy$内,已知该抛物线上点$P$到底部水平线($x$轴)的距离为125 m,则点$P$到该抛物线焦点$F$的距离为 ( )
　　　　　　
A. 225 m
B. 275 m
C. 330 m
D. 380 m

答案： A [设抛物线方程为$x^{2}=2py$且$p\gt0$,由题意知点$(250,156.25)$在抛物线上,则$312.5p = 250^{2}$,得$p=\frac{250^{2}}{312.5}=200$,又$P(x_{P},y_{P})$且$y_{P}=125$,则点$P$到该抛物线焦点$F$的距离为$y_{P}+\frac{p}{2}=125 + 100 = 225m$. 故选 A.]

4. (2024·福建福州闽侯县第一中学高三上月考)过圆$O:x^{2}+y^{2}=5$外一点$P(2,\sqrt{5})$作圆$O$的切线,切点分别为$A,B$,则$|AB| =$( )
A. 2
B. $\sqrt{5}$
C. $\frac{4\sqrt{5}}{3}$
D. 3

答案：
C [结合题意绘出图形如图所示. 因为圆$O:x^{2}+y^{2}=5$,直线$PA$,$PB$是圆$O$的切线,所以$O(0,0)$,$\vert OA\vert=\vert OB\vert=\sqrt{5}$,$PA\perp OA$,$PB\perp OB$,因为$P(2,\sqrt{5})$,

所以$\vert OP\vert=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}} = 3$,$\vert PA\vert=\sqrt{\vert OP\vert^{2}-\vert OA\vert^{2}} = 2$,根据圆的对称性,易知$OP\perp AB$,则$\frac{1}{2}\vert OP\vert\cdot\vert AC\vert=\frac{1}{2}\vert OA\vert\cdot\vert AP\vert$,解得$\vert AC\vert=\frac{2\sqrt{5}}{3}$,所以$\vert AB\vert = 2\vert AC\vert=\frac{4\sqrt{5}}{3}$. 故选 C.]