《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

22.(2024·江苏泰州中学高三月考)$(x-\frac{2}{x})^{8}$的展开式中$x^{2}$的系数是（ ）
A.-448
B.448
C.-56
D.56

答案： 22.A $[(x-\frac{2}{x})^{8}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{8}^{r}x^{8 - r}(-\frac{2}{x})^{r}=(-2)^{r}C_{8}^{r}x^{8 - 2r},r\in N,r\leqslant8$,令$8 - 2r = 2$,解得$r = 3$,所以所求系数为$(-2)^{3}C_{8}^{3}=-448$. 故选 A.

23.(2024·浙南名校联盟高三第一次联考)若$(2x-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{n}$的展开式中所有系数的绝对值之和为81，则其常数项为（ ）
A.-4
B.4
C.-8
D.8

答案： 23.C [由$(2x-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{n}$的展开式中所有项的系数的绝对值之和为$(2 + 1)^{n}=81$,得$n = 4,(2x-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{4}$的展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{4}^{r}(2x)^{4 - r}\cdot(-x^{-\frac{1}{3}})^{r}$,当$r = 3$时,常数项为 -8. 故选 C.

24.(2023·安徽合肥高三模拟)在$(1+\frac{1}{x}-x)^{5}$的展开式中，$x^{3}$的系数为（ ）
A.5
B.-5
C.15
D.-15

答案： 24.B $[(1+\frac{1}{x}-x)^{5}$表示5个因式$(1+\frac{1}{x}-x)$的乘积,在这5个因式中,有3个因式都选$-x$,其余的2个因式都选1;或者有4个因式都选$-x$,剩下的1个因式选$\frac{1}{x}$,相乘可得$x^{3}$项,故$x^{3}$的系数为$C_{5}^{3}\times(-1)^{3}+C_{5}^{4}\times(-1)^{4}=-5$. 故选 B.

25.(2024·山东济南高三模拟)$(x+\frac{y^{2}}{x})(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数为（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20

答案： 25.C [因为$(x+\frac{y^{2}}{x})(x + y)^{5}=x(x + y)^{5}+\frac{y^{2}}{x}(x + y)^{5},(x + y)^{5}$的通项为$C_{5}^{r}x^{5 - r}y^{r}(r = 0,1,2,3,4,5)$,所以$x(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{2}$的系数为$C_{5}^{2}=10,\frac{y^{2}}{x}(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{2}$的系数为$C_{5}^{1}=5$. 所以$(x+\frac{y^{2}}{x})(x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{2}$的系数为$10 + 5 = 15$. 故选 C.

26.(2023·湖北武汉高三模拟)若$(a + x)(1 + x)^{4}$的展开式中$x$的奇数次幂项的系数之和为32，则实数$a$的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 26.B [设$(a + x)(1 + x)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}$,令$x = 1$,得$16(a + 1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ ①,令$x=-1$,得$0 = a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}$ ②. ① - ②,得$16(a + 1)=2(a_{1}+a_{3}+a_{5})$,即展开式中$x$的奇数次幂的系数之和为$a_{1}+a_{3}+a_{5}=8(a + 1)$,所以$8(a + 1)=32$,解得$a = 3$. 故选 B.

27.（多选）(2023·辽宁沈阳高三模拟)若$(1 + x)+(1 + x)^{2}+\cdots+(1 + x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}$，且$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n - 1}=125 - n$，则下列结论正确的是（ ）
A.$n = 6$
B.$a_{1}=21$
C.$(1 + 2x)^{n}$的展开式中二项式系数和为729
D.$a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots+na_{n}=321$

答案： 27.ABD $[\because(1 + x)+(1 + x)^{2}+\cdots+(1 + x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}$,且$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n - 1}=125 - n$,令$x = 0$,可得$a_{0}=n$,显然$a_{n}=C_{n}^{n}=1$,再令$x = 1$,可得$n+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n - 1}+1=2 + 2^{2}+\cdots+2^{n}=\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}=2^{n + 1}-2$,即$n + 125 - n+1=2^{n + 1}-2$,即$2^{n + 1}=128,\therefore n = 6$,故 A 正确;$a_{1}=1 + C_{2}^{1}+C_{3}^{1}+C_{4}^{1}+C_{5}^{1}+C_{6}^{1}=1 + 2+3 + 4+5 + 6 = 21$,故 B 正确;$(1 + 2x)^{n}$的展开式中二项式系数和为$2^{n}=64$,故 C 错误;对所给的等式两边取导数,可得$1 + 2(1 + x)+\cdots+6(1 + x)^{5}=a_{1}+2a_{2}x+\cdots+6a_{6}x^{5}$,再令$x = 1$,可得$1 + 2\times2+3\times2^{2}+\cdots+6\times2^{5}=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots+6a_{6}$,即$a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots+6a_{6}=321$,故 D 正确. 故选 ABD.

28.(2024·江西红色十校高三联考)$(1 - x)(1 + 2x)^{6}$的展开式中$x^{3}$的系数为________.

答案： 28.答案 100
解析 因为$(1 - x)(1 + 2x)^{6}=(1 + 2x)^{6}-x(1 + 2x)^{6},(1 + 2x)^{6}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{6}^{r}(2x)^{r}$,所以$x^{3}$的系数为$C_{6}^{3}2^{3}-C_{6}^{2}2^{2}=100$.

29.(2023·湖北孝感部分学校高三联考)已知$960x^{3}$是$(2x-\frac{a}{\sqrt{x}})^{6}$的展开式中的某一项，则实数$a$的值为________.

答案： 29.答案 $\pm2$
解析 $(2x-\frac{a}{\sqrt{x}})^{6}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{6}^{r}\cdot(2x)^{6 - r}\cdot(-\frac{a}{\sqrt{x}})^{r}=(-a)^{r}\cdot2^{6 - r}\cdot C_{6}^{r}\cdot x^{6-\frac{3r}{2}}$,令$6-\frac{3r}{2}=3$,则$r = 2$,所以$(-a)^{2}\cdot2^{4}\cdot C_{6}^{2}=960$,解得$a=\pm2$.

30.(2023·广东广州执信中学高三模拟)已知$(x^{2}+\frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为$\frac{1}{4}$，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________.

答案： 30.答案 1120
解析 已知$(x^{2}+\frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{n}^{r}\cdot(x^{2})^{n - r}\cdot(\frac{2}{\sqrt{x}})^{r}$,故第4项的系数为$C_{n}^{3}\cdot2^{3}$,倒数第4项的系数为$C_{n}^{n - 3}\cdot2^{n - 3}$,故$\frac{C_{n}^{3}\cdot2^{3}}{C_{n}^{n - 3}\cdot2^{n - 3}}=\frac{1}{4}$,解得$n = 8$,故二项式系数最大的项的系数为$C_{8}^{4}\cdot2^{4}=1120$.