《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 若0＜a＜$\frac{1}{2}$，则a(1 - 2a)的最大值是（ ）
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

答案： A [由$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$，得$1 - 2a ＞ 0$，则$a(1 - 2a)=\frac{1}{2}\cdot2a(1 - 2a)\leq\frac{1}{2}[\frac{2a+(1 - 2a)}{2}]^{2}=\frac{1}{8}$，当且仅当$a = \frac{1}{4}$时取等号. 故选A.]

2. 已知a＞0，b＞0，3a + $\frac{4}{b}$ = 1，则$\frac{1}{a}$ + 3b的最小值为（ ）
A. 13
B. 19
C. 21
D. 27

答案： D [$\frac{1}{a}+3b = (\frac{1}{a}+3b)(3a+\frac{4}{b}) = 3 + 12+\frac{4}{ab}+9ab\geq15 + 2\sqrt{\frac{4}{ab}\cdot9ab}=27$，当且仅当$\frac{4}{ab}=9ab$，即$a = \frac{1}{9},b = 6$时，等号成立，故$\frac{1}{a}+3b$的最小值为27.]

3. 已知x＞1，则x + $\frac{1}{x - 1}$的最小值是（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： D [$\because x＞1,\therefore x - 1＞0,\frac{1}{x - 1}＞0,\therefore x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1 = 2 + 1 = 3$，当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$时，等号成立，故$x+\frac{1}{x - 1}$的最小值是3.]

4. 已知a＞0，b＞0，若不等式$\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$≥$\frac{n}{2a + b}$恒成立，则n的最大值为（ ）
A. 9
B. 12
C. 16
D. 20

答案： A [因为$a＞0,b＞0$，所以$2a + b＞0,\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{n}{2a + b}\Rightarrow(2a + b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\geq n,(2a + b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}) = 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq5 + 2\sqrt{\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{a}} = 9$（当且仅当$a = b$时取等号），所以$n\leq9$，即$n$的最大值为9. 故选A.]

5. 已知m，n∈R，且m - 3n + 4 = 0，则2$^m$ + $\frac{1}{8^n}$的最小值为（ ）
A. $\frac{257}{64}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： D [$\because m = 3n - 4,\therefore2^{m}+\frac{1}{8^{n}} = 2^{3n - 4}+\frac{1}{8^{n}}=\frac{8^{n}}{16}+\frac{1}{8^{n}}\geq2\sqrt{\frac{8^{n}}{16}\times\frac{1}{8^{n}}}=\frac{1}{2}$，当且仅当$n = \frac{2}{3}$时取等号.]

6. 已知向量$\boldsymbol{a}$ = (1，x - 1)，$\boldsymbol{b}$ = (y，2)，其中x＞0，y＞0. 若$\boldsymbol{a}$⊥$\boldsymbol{b}$，则xy的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： B [因为$\boldsymbol{a}=(1,x - 1),\boldsymbol{b}=(y,2),\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=y + 2(x - 1)=0$，即$2x + y = 2$. 又因为$x＞0,y＞0$，所以$2x + y\geq2\sqrt{2xy}$，当且仅当$x = \frac{1}{2},y = 1$时等号成立，即$2\sqrt{2xy}\leq2$，所以$xy\leq\frac{1}{2}$，所以当且仅当$x = \frac{1}{2},y = 1$时，$xy$取到最大值，为$\frac{1}{2}$. 故选B.]

7. 若实数x + 3y = 3(x＞1，y＞$\frac{1}{3}$)，则$\frac{x}{x - 1}$ + $\frac{3y}{3y - 1}$的最小值为（ ）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2

答案： A [因为$\frac{x}{x - 1}+\frac{3y}{3y - 1}=\frac{x - 1+1}{x - 1}+\frac{3y - 1+1}{3y - 1}=\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{3y - 1}+2$，由$x + 3y = 3$，得$(x - 1)+(3y - 1)=1$，又$x＞1,y＞\frac{1}{3}$，所以$\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{3y - 1}=(\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{3y - 1})[(x - 1)+(3y - 1)]=\frac{3y - 1}{x - 1}+\frac{x - 1}{3y - 1}+2\geq2\sqrt{\frac{3y - 1}{x - 1}\cdot\frac{x - 1}{3y - 1}}+2 = 4$，当且仅当$x - 1=3y - 1,x + 3y = 3$，即$x = \frac{3}{2},y = \frac{1}{2}$时等号成立，所以$\frac{x}{x - 1}+\frac{3y}{3y - 1}$的最小值为6.]

8. 已知函数f(x) = cosπx(0＜x＜2)，若a≠b，且f(a) = f(b)，则$\frac{1}{a}$ + $\frac{4}{b}$的最小值为（ ）
A. $\frac{9}{2}$
B. 9
C. 18
D. 36

答案： A [函数$f(x)=\cos\pi x(0 ＜ x ＜ 2)$图象的对称轴为直线$x = 1$. 因为$a\neq b$，且$f(a)=f(b)$，所以$a + b = 2$，所以$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})(a + b)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b})\geq\frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{4a}{b}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$a = \frac{2}{3},b = \frac{4}{3}$时取等号，故$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$. 故选A.]