《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 已知函数$f(x)=\begin{cases}\ln x,x ＞ 0,\\x + 1,x\leqslant0,\end{cases}g(x)=f(x)+f(-x)$，则函数$g(x)$的零点个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： A

2. 若函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^{2}}-\frac{x}{3}(x ＞ 0)$有两个零点，则$m$的取值范围为（ ）
A. $\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$
B. $\left(0,\frac{2}{3}\right)$
C. $\left\{\frac{2}{3}\right\}$
D. $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$

答案： B [令f(x)=0,则m=x−$\frac{x^{3}}{3}$在(0,+∞)上有两个根,令g(x)=x−$\frac{x^{3}}{3}$,则g'(x)=1 - x²,故当x∈(0,1)时,g'(x)＞0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)＜0,g(x)单调递减.所以g(x)_{max}=g
(1)=$\frac{2}{3}$,且当x∈(0,1)时,g(x)＞g
(0)=0,当x→+∞时,g(x)→ -∞,综上,要使m=x−$\frac{x^{3}}{3}$在(0,+∞)上有两个根,则0＜m＜$\frac{2}{3}$.故选B.]

3. 函数$f(x)=x\text{e}^{x}-x-\ln x - 1$的零点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B

4. (多选)已知三次函数$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d$有三个不同的零点$x_{1},x_{2},x_{3}(x_{1}＜x_{2}＜x_{3})$，若函数$g(x)=f(x)-1$也有三个不同的零点$t_{1},t_{2},t_{3}(t_{1}＜t_{2}＜t_{3})$，则下列等式或不等式一定成立的是（ ）
A. $b^{2}＜3c$
B. $t_{3}＞x_{3}$
C. $x_{1}+x_{2}+x_{3}=t_{1}+t_{2}+t_{3}$
D. $x_{1}x_{2}x_{3}-t_{1}t_{2}t_{3}=1$

答案：
BC [由题意,得f'(x)=3x²+2bx + c,因为函数f(x)有三个不同的零点,则f'(x)=0有两个不同的实根,

故在方程3x²+2bx + c = 0中,Δ=4b²-12c＞0,即b²＞3c,故A错误;因为三次函数f(x)=x³+bx²+cx + d有三个不同的零点x₁,x₂,x₃(x₁＜x₂＜x₃),所以x³+bx²+cx + d=(x - x₁)(x - x₂)·(x - x₃)=x³-(x₁+x₂+x₃)x²+(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃=0,所以x₁+x₂+x₃= - b,x₁x₂x₃= - d,同理t₁+t₂+t₃= - b,t₁t₂t₃=1 - d,所以x₁+x₂+x₃=t₁+t₂+t₃,x₁x₂x₃ - t₁t₂t₃= - 1,故C正确,D错误;如图,由f(x)的图象与直线y = 1的交点可知t₃＞x₃,故B正确.故选BC.]

5. (多选)已知函数$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$，则以下说法正确的是（ ）
A. 函数$f(x)$有零点
B. 当$a ＞ 1+\ln 2$时，函数$y = f(x)-a$有两个零点
C. 函数$g(x)=f(x)-x$有且只有一个零点
D. 函数$g(x)=f(x)-x$有且只有两个零点

答案：
BC [f(x)=$\frac{2}{x}$+ln x,其定义域为(0,+∞),所以f'(x)= - $\frac{2}{x²}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x - 2}{x²}$,令f'(x)＞0,得x＞2,令f'(x)＜0,得0＜x＜2,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,f(x)_{min}=f
(2)=1+ln 2＞0,当x→0⁺时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,作出y = f(x)的大致图象如图所示,

则函数f(x)无零点,A错误;函数y = f(x)-a的零点个数即函数y = f(x)的图象与直线y = a的交点个数,由图可得,当a＞1+ln 2时,函数y = f(x)-a有两个零点,B正确;g'(x)= - $\frac{2}{x²}$+$\frac{1}{x}$-1=$\frac{-2 + x - x²}{x²}$= - $\frac{(x-\frac{1}{2})²+\frac{7}{4}}{x²}$＜0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g
(1)=1＞0,g
(2)=ln 2 - 1＜0,所以由零点存在定理知,函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,C正确,D错误.故选BC.]

6. 若函数$f(x)=2x^{3}-ax^{2}+1(a\in\mathbf{R})$在$(0,+\infty)$上有且只有一个零点，则$f(x)$在$[-2,2]$上的最大值与最小值的和为________。

答案： 答案 - 22

7. (2023·全国乙卷)函数$f(x)=x^{3}+ax + 2$存在3个零点，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-2)$
B. $(-\infty,-3)$
C. $(-4,-1)$
D. $(-3,0)$

答案： B [f(x)=x³+ax + 2,则f'(x)=3x²+a,若f(x)存在3个零点,则f(x)存在极大值和极小值,则a＜0.令f'(x)=3x²+a = 0,解得x= - $\sqrt{\frac{-a}{3}}$或x=$\sqrt{\frac{-a}{3}}$,且当x∈(-∞,-$\sqrt{\frac{-a}{3}}$)∪($\sqrt{\frac{-a}{3}}$,+∞)时,f'(x)＞0,当x∈(-$\sqrt{\frac{-a}{3}}$,$\sqrt{\frac{-a}{3}}$)时,f'(x)＜0,故f(x)的极大值为f(-$\sqrt{\frac{-a}{3}}$),极小值为f($\sqrt{\frac{-a}{3}}$),若f(x)存在3个零点,则$\begin{cases}f(-\sqrt{\frac{-a}{3}})＞0\\f(\sqrt{\frac{-a}{3}})＜0\end{cases}$,即$\begin{cases}\frac{a}{3}\sqrt{\frac{-a}{3}}-a\sqrt{\frac{-a}{3}}+2＞0\\-\frac{a}{3}\sqrt{\frac{-a}{3}}+a\sqrt{\frac{-a}{3}}+2＜0\end{cases}$,解得a＜ - 3.故选B.]