《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

13.（多选）（2023·江苏南京师大附中校考模拟预测）如图，由正四棱锥$P - ABCD$和正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$组成的多面体的所有棱长均为$2$，则（ ）

A. $PA//$平面$CB_{1}D_{1}$
B. 平面$PAC\perp$平面$CB_{1}D_{1}$
C. $PB$与平面$CB_{1}D_{1}$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$
D. 点$P$到平面$CB_{1}D_{1}$的距离为$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$

答案： 13.BD

14.（2024·福建福州闽侯县第一中学高三上月考）已知空间中三点$A(1,1,\sqrt{3})$，$B(1,-1,2)$，$C(0,0,0)$，则点$A$到直线$BC$的距离为_______.

答案： $\sqrt{3}$

1.（2023·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 2$，$AA_{1}=4$. 点$A_{2}$，$B_{2}$，$C_{2}$，$D_{2}$分别在棱$AA_{1}$，$BB_{1}$，$CC_{1}$，$DD_{1}$上，$AA_{2}=1$，$BB_{2}=DD_{2}=2$，$CC_{2}=3$.
(1)证明：$B_{2}C_{2}// A_{2}D_{2}$；
(2)点$P$在棱$BB_{1}$上，当二面角$P - A_{2}C_{2}-D_{2}$为$150^{\circ}$时，求$B_{2}P$.

答案：
解　
(1)证明:以C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系，如图所示，
　则C(0,0,0),C(0,0,3),B(0,2,2),
D(2,0,2),A2(2,2,1),
∴BC=(0,−2,1),AD=(0,−2,1),
∴BC///AD,
　又B2C,AD2不在同一条直线上,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B2C/A2D.
(2)设P(0,2,λ)(0≤λ≤4),
　则AC=(−2,−2,2),PC=(0,−2,
　3−λ),DC=(−2,0,1),
　设平面PAC的法向量为n=(x,y,1),
　则{nn..APCC==−−22yx11+−(23y−1+λ)2xx1=1=00,,
　令x=2,得y1=3−a,x=λ−1,
∴n=(x−1,3−a,2).
　设平面A2C2D2的法向量为m=(x2.y2,22),
　则{mm..ADCC²==−−22xx22−+2xy=2+02,x2=0,
　令x2=1,得y2=1,2=2,
∴m=(1,1,2).
　又二面角P−AC−D2为150°,
∴|cos＜n,m＞|=$\frac{n.m|}{nm|}$$\sqrt{6}$√4+(a−1)²+(3−a)²6
　=|cos150°|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
　化简可得,λ²−4λ+3=0,解得λ=1或λ=3,
∴P(0,2,1)或P(0,2,3),
∴B2P=1.