《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

15.(本小题满分13分)已知$A(1,2)$，$B(a,1)$，$C(2,3)$，$D(-1,b)(a,b\in\mathbf{R})$是复平面内的四个点，且向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$对应的复数分别为$z_1$，$z_2$.
(1)若$z_1 + z_2 = 1 + i$，求$z_1$，$z_2$;
(2)若$|z_1 + z_2| = 2$，$z_1 - z_2$为实数，求$a$，$b$的值.

答案： 15.解
(1)
∵$\overrightarrow{AB}=(a,1)-(1,2)=(a - 1,-1)$,$\overrightarrow{CD}=(-1,b)-(2,3)=(-3,b - 3)$,
∴z₁ = (a - 1) - i,z₂ = -3+(b - 3)i,
∴z₁ + z₂ = (a - 4)+(b - 4)i,
又 z₁ + z₂ = 1 + i,
∴$\begin{cases}a - 4 = 1\\b - 4 = 1\end{cases}$,
∴$\begin{cases}a = 5\\b = 5\end{cases}$,
∴z₁ = 4 - i,z₂ = -3 + 2i.
(2)由
(1)得 z₁ + z₂ = (a - 4)+(b - 4)i,z₁ - z₂ = (a + 2)+(2 - b)i,
∵|z₁ + z₂| = 2,z₁ - z₂ 为实数,
∴$\begin{cases}(a - 4)^2+(b - 4)^2 = 4\\2 - b = 0\end{cases}$,
∴$\begin{cases}a = 4\\b = 2\end{cases}$.

16.(2024·山东潍坊一中高三期中)(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，$A$，$B$，$C$三点满足$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.
(1)求$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的值;
(2)已知$A(1,\cos x)$，$B(1 + \cos x,\cos x)$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$f(x)=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}-(2m+\frac{2}{3})|\overrightarrow{AB}|$.若$f(x)$的最小值为$g(m)$，求$g(m)$的最大值.

答案： 16.解
(1)由题意知 A,B,C 三点满足$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$,
可得$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$,所以$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})$,即$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$,即$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$,则|$\overrightarrow{AC}$| = 2|$\overrightarrow{CB}$|,
所以$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}=2$.
(2)由题意,得$\overrightarrow{OA}=(1,cosx)$,$\overrightarrow{OB}=(1 + cosx,cosx)$,
$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=(1+\frac{2}{3}cosx,cosx)$,
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(cosx,0)$,
所以函数 f(x) = $\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OC}-(2m+\frac{2}{3})|\overrightarrow{AB}|=1+\frac{2}{3}cosx+cos²x-(2m+\frac{2}{3})cosx=(cosx - m)^2+1 - m^2$.
因为 x∈[0,$\frac{\pi}{2}$],所以 cosx∈[0,1],
当 m＜0 时,当 cosx = 0 时,f(x)取得最小值 g(m) = 1,
当 0≤m≤1 时,当 cosx = m 时,
f(x)取得最小值 g(m) = 1 - m²,
当 m＞1 时,当 cosx = 1 时,f(x)取得最小值 g(m) = 2 - 2m,
综上所述,g(m) = $\begin{cases}1,m\lt0\\1 - m^2,0\leq m\leq1\\2 - 2m,m\gt1\end{cases}$,
可得 g(m)的最大值为 1.