《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

20. (多选)(2023·重庆第一中学高三月考)已知函数$f(x)=\sin(x+\varphi)(0＜\varphi＜2\pi)$，$g(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})(\omega＞0)$，若将$f(x)$图象上每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$后，再将图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位，可以得到$g(x)$的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. $\varphi=\frac{2\pi}{3}$
B. $g(x)$的周期为$\pi$
C. $g(x)$的一个单调递增区间为$(\frac{7\pi}{12},\frac{7\pi}{6})$
D. $g(x)=\frac{1}{2}$在区间$(a,b)$上有5个不同的解，则$b - a$的取值范围为$(2\pi,3\pi]$

答案： [将$f(x)=\sin(x+\varphi)$的图象上每个点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到$y=\sin(2x+\varphi)$的图象，再向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位，得到$g(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}+\varphi)$的图象，
$\therefore\begin{cases}\omega = 2\\-\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})\end{cases}$，又$0＜\varphi＜2\pi$，$\therefore\begin{cases}\omega = 2\\\varphi=\frac{2\pi}{3}\end{cases}$，故A正确；由A项分析可知$g(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，$\therefore$周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，故B正确；由$x\in(\frac{7\pi}{12},\frac{7\pi}{6})$，得$2x+\frac{\pi}{3}\in(\frac{3\pi}{2},\frac{8\pi}{3})$，$\frac{8\pi}{3}＞\frac{5\pi}{2}$，可知$g(x)$在$(\frac{7\pi}{12},\frac{7\pi}{6})$上不单调，故C错误；$g(x)=\frac{1}{2}$在区间$(a,b)$上有5个不同的解，由函数图象可知，区间$(a,b)$的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故$b - a\in(2\pi,3\pi]$，故D正确. 故选ABD.]

21. (多选)(2024·重庆七校高三第一次月考)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色. 某摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min. 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动$t$ min后距离地面的高度为$H(t)$ m. 游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱. 在运行一周的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差为$h$ m. 下列结论正确的是（ ）
A. $H(t)=55\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})+65$
B. $H(5)=38.5$
C. 在运行一周的过程中，$H(t)＞90$的时间超过10 min
D. $h_{max}=55$

答案：
[由题意可得$H(t)$是关于$t$的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近的点为$P$，则当$t = 0$时，游客甲位于点$P(0,-55)$处，以$OP$为终边的角为$-\frac{\pi}{2}$，而转一圈大约需要30 min，可知角速度大约为$\frac{\pi}{15}$ rad/min，由题意可得$H(t)=55\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})+65$，故A正确；当$t = 5$时，$H(5)=55\sin(\frac{\pi}{15}\times5-\frac{\pi}{2})+65=37.5$，故B错误；$H(t)=55\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})+65\geqslant90 + 2.5\Rightarrow\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})\geqslant\frac{1}{2}$，当$0\leqslant t\leqslant30$时，$\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\in[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$，故$\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\in[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\Rightarrow t\in[10,20]$，即在运行一周的过程中，高度不低于$(90 + 2.5)$m的时间为$20 - 10 = 10$ min，显然高度超过90 m的时间超过10 min，故C正确；甲、乙所在位置分别设为$A$，$B$两点，甲、乙座舱差7个，则$\angle AOB=8\times\frac{2\pi}{48}=\frac{\pi}{3}$，故$t$ min后甲、乙的高度分别为$H_1=55\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})+65$，$H_2=55\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})+65$，其高度差$h=|H_1 - H_2|=55|\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2})-\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})|=55|\sin(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{6})|\leqslant55$，故D正确. 故选ACD.]

22. (2023·云南红河开远市第一中学高三校考开学考试)已知函数$f(x)=2\cos(\omega x+\varphi)(\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，将函数$f(x)$图象上所有的点向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为________.

答案： 答案 $y = 2\cos x$
解析 由题意知，$\frac{1}{4}T=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}$，即$T=\pi$，所以$\omega = 2$，所以$f(x)=2\cos(2x+\varphi)$，因为图象经过点$(\frac{\pi}{12},2)$，所以$f(\frac{\pi}{12})=2\cos(\frac{\pi}{6}+\varphi)=2$，所以$\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，因为$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，所以$f(x)=2\cos(2x-\frac{\pi}{6})$，将函数$f(x)$图象上所有的点向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得$y=2\cos[2(x+\frac{\pi}{12})-\frac{\pi}{6}]=2\cos2x$的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得$y = 2\cos x$的图象，所以所得函数图象的解析式为$y = 2\cos x$.

1. (2023·北京高考)设函数$f(x)=\sin\omega x\cos\varphi+\cos\omega x\sin\varphi(\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$.
(1)若$f(0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\varphi$的值；
(2)已知$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，$f(\frac{2\pi}{3}) = 1$，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数$f(x)$存在，求$\omega,\varphi$的值.
条件①：$f(\frac{\pi}{3})=\sqrt{2}$；
条件②：$f(-\frac{\pi}{3})=-1$；
条件③：$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}]$上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 解
(1)因为$f(x)=\sin\omega x\cos\varphi+\cos\omega x\sin\varphi$，
所以$f(0)=\sin(\omega\cdot0)\cos\varphi+\cos(\omega\cdot0)\sin\varphi=\sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因为$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{3}$.
(2)因为$f(x)=\sin\omega x\cos\varphi+\cos\omega x\sin\varphi$，$\omega＞0$，$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，
所以$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，$\omega＞0$，$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，
所以$f(x)$的最大值为1，最小值为$-1$.
若选条件①：因为$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$的最大值为1，最小值为$-1$，所以$f(\frac{\pi}{3})=\sqrt{2}$无解，故条件①不能使函数$f(x)$存在.
若选条件②：因为$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，且$f(\frac{2\pi}{3})=1$，$f(-\frac{\pi}{3})=-1$，
所以$\frac{T}{2}=\frac{2\pi}{3}-(-\frac{\pi}{3})=\pi$，所以$T = 2\pi$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=1$，
所以$f(x)=\sin(x+\varphi)$，
又因为$f(-\frac{\pi}{3})=-1$，所以$\sin(-\frac{\pi}{3}+\varphi)=-1$，
所以$-\frac{\pi}{3}+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，
因为$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}$. 所以$\omega = 1$，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$.
若选条件③：因为$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，在$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}]$上单调递减，
所以$f(x)$在$x = -\frac{\pi}{3}$处取得最小值$-1$，即$f(-\frac{\pi}{3})=-1$.
以下与选条件②相同.