《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

2.（2022·全国甲卷）已知函数$f(x)=x^{3}-x$，$g(x)=x^{2}+a$，曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线也是曲线$y = g(x)$的切线。
（1）若$x_{1}=-1$，求$a$；
（2）求$a$的取值范围。

答案： 解
(1)由题意知，$f(-1)=-1-(-1)=0$，$f'(x)=3x^{2}-1$，$f'(-1)=3 - 1 = 2$，则曲线$y = f(x)$在点$(-1,0)$处的切线方程为$y = 2(x + 1)$，即$y = 2x + 2$. 设该切线与$g(x)$切于点$(x_{2},g(x_{2}))$，$g'(x)=2x$，则$g'(x_{2})=2x_{2}=2$，解得$x_{2}=1$，则$g(1)=1 + a=2 + 2$，解得$a = 3$.
(2)$f'(x)=3x^{2}-1$，则曲线$y = f(x)$在点$(x_{1},f(x_{1}))$处的切线方程为$y-(x_{1}^{3}-x_{1})=(3x_{1}^{2}-1)(x - x_{1})$，整理得$y=(3x_{1}^{2}-1)x-2x_{1}^{3}$. 设该切线与$g(x)$切于点$(x_{2},g(x_{2}))$，$g'(x)=2x$，则$g'(x_{2})=2x_{2}$，则切线方程为$y-(x_{2}^{2}+a)=2x_{2}(x - x_{2})$，整理得$y = 2x_{2}x-x_{2}^{2}+a$. 则$\begin{cases}3x_{1}^{2}-1=2x_{2}\\-2x_{1}^{3}=-x_{2}^{2}+a\end{cases}$，整理得$a=x_{2}^{2}-2x_{1}^{3}=(\frac{3x_{1}^{2}-1}{2})^{2}-2x_{1}^{3}=\frac{9}{4}x_{1}^{4}-2x_{1}^{3}-\frac{3}{2}x_{1}^{2}+\frac{1}{4}$. 令$h(x)=\frac{9}{4}x^{4}-2x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$，则$h'(x)=9x^{3}-6x^{2}-3x=3x(3x + 1)(x - 1)$，令$h'(x)=0$，得$x=-\frac{1}{3}$，$0$，$1$，则$x$变化时，$h'(x)$，$h(x)$的变化情况如下表：
|$x$|$(-\infty,-\frac{1}{3})$|$-\frac{1}{3}$|$(-\frac{1}{3},0)$|$0$|$(0,1)$|$1$|$(1,+\infty)$|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$h'(x)$|$-$|$0$|$+$|$0$|$-$|$0$|$+$|
|$h(x)$|单调递减|$\frac{5}{27}$|单调递增|$\frac{1}{4}$|单调递减|$-1$|单调递增|
由上表知，当$x=-\frac{1}{3}$时，$h(x)$取极小值$h(-\frac{1}{3})=\frac{5}{27}$，当$x = 1$时，$h(x)$取极小值$h(1)=-1$，易知当$x\to-\infty$时，$h(x)\to+\infty$，当$x\to+\infty$时，$h(x)\to+\infty$，所以$h(x)$的值域为$[-1,+\infty)$. 故$a$的取值范围为$[-1,+\infty)$.

3.（2024·辽宁名校联盟高三上学期联考）已知函数$f(x)=x^{3}-x^{2}-ax + 1$，$a\in\mathbf{R}$。
（1）若$\exists x\gt0$，$f(x)\lt0$，求$a$的取值范围；
（2）设函数$g(x)=f(x)+ax - 1$，$h(x)=x^{2}+bx$，若斜率为1的直线与曲线$y = g(x)$，$y = h(x)$都相切，求$b$的值。

答案： 解
(1)由题意$\exists x\gt0$，$f(x)\lt0$，得$x^{3}-x^{2}-ax + 1\lt0$，即$a\gt\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$在$x\gt0$时有解. 设$\varphi(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+1}{x}$，则$\varphi'(x)=2x-\frac{1}{x^{2}}-1$，易知$\varphi'(1)=0$. 令$m(x)=2x-\frac{1}{x^{2}}-1$，则$m'(x)=2+\frac{2}{x^{3}}\gt0$，所以$\varphi'(x)$单调递增，所以当$x\in(0,1)$时，$\varphi'(x)\lt0$，$\varphi(x)$单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$\varphi'(x)\gt0$，$\varphi(x)$单调递增. 所以$\varphi(x)_{\min}=\varphi(1)=1$，所以$a\gt1$.
(2)由题意，得$g(x)=x^{3}-x^{2}$，所以$g'(x)=3x^{2}-2x$，令$g'(x)=1$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$，所以直线与曲线$y = g(x)$的两个切点坐标分别为$(1,0)$，$(-\frac{1}{3},-\frac{4}{27})$，所以切线方程分别为$y = x - 1$和$y = x+\frac{5}{27}$. 令$x - 1=x^{2}+bx$，得$x^{2}+(b - 1)x + 1 = 0$，令$\Delta_{1}=(b - 1)^{2}-4 = 0$，解得$b = 3$或$b=-1$. 令$x+\frac{5}{27}=x^{2}+bx$，得$x^{2}+(b - 1)x-\frac{5}{27}=0$，令$\Delta_{2}=(b - 1)^{2}+\frac{20}{27}=0$，无解. 经检验，直线与曲线$y = h(x)$的两个切点坐标分别为$(-1,-2)$，$(1,0)$. 综上所述，$b = 3$或$b=-1$.