《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

18. (2024·辽宁大连二十四中高三开学考试)已知命题¬p：∃a∈R，a^π - π^a＞0，则（ ）
A. p：∃a∉R，a^π - π^a＞0
B. p：∀a∉R，a^π - π^a≤0
C. p：∃a∈R，a^π - π^a≤0
D. p：∀a∈R，a^π - π^a≤0

答案： D [根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以¬p：∃a∈R，a^x - π^x＞0的否定是p：∀a∈R，a^x - π^x≤0.故选D.]

19. (2024·辽宁名校联盟高三开学考试)设x，y∈R，则“xy＞1”是“x² + y²＞1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A [由xy＞1，得x² + y²≥2xy＞2＞1；但当x² + y²＞1时，取x = 1，y = $\frac{1}{100}$，则xy = $\frac{1}{100}$＜1.所以“xy＞1”是“x² + y²＞1”的充分不必要条件.故选A.]

20. (2023·山东淄博高三月考)在△ABC中，设命题p：$\frac{a}{sinC} = \frac{b}{sinA} = \frac{c}{sinB}$，命题q：△ABC是等边三角形，那么p是q的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C [由正弦定理可知$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，若$\frac{a}{\sin C}=\frac{b}{\sin A}=\frac{c}{\sin B}=t$，则$\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=t$，即a = tc，b = ta，c = bt，即abc = t³abc，即t = 1，则a = b = c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A = B = C = $\frac{\pi}{3}$，则$\frac{a}{\sin C}=\frac{b}{\sin A}=\frac{c}{\sin B}$成立，即p是q的充要条件.故选C.]

21. (2024·湖南师大附中高三摸底考试)已知{a_n}是公差为3的等差数列，其前n项和为S_n，设甲：{a_n}的首项为零；乙：S_2 + 3是S_1 + 3和S_3 + 3的等比中项，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： C [由{aₙ}是公差为3的等差数列，可知S₁ + 3 = a₁ + 3，S₂ + 3 = 2a₁ + 6，S₃ + 3 = 3a₁ + 12.若S₂ + 3是S₁ + 3和S₃ + 3的等比中项，则(2a₁ + 6)² = (a₁ + 3)(3a₁ + 12)，解得a₁ = 0或a₁ = - 3(舍去，因为此时S₁ + 3 = S₂ + 3 = 0)，可见“{aₙ}的首项为零”是“S₂ + 3是S₁ + 3和S₃ + 3的等比中项”的充要条件.故选C.]

22. (2024·江苏南通如皋高三开学考试)已知命题p：∀x∈[1,3]，x² - ax + 3＜0，则p的一个必要不充分条件是（ ）
A. a＜5
B. a＞3
C. a＜4
D. a＞4

答案： B [因为∀x∈[1，3]，x² - ax + 3＜0，所以a＞x + $\frac{3}{x}$在[1，3]上恒成立，只需y = x + $\frac{3}{x}$在[1，3]上的最大值小于a，因为y = x + $\frac{3}{x}$在[1，$\sqrt{3}$)上单调递减，在($\sqrt{3}$，3]上单调递增，其中1 + $\frac{3}{1}=3+\frac{3}{3}=4$，故y = x + $\frac{3}{x}$在[1，3]上的最大值为4，所以a＞4，所以a＞4是p的充要条件，D错误；因为a＞4⇒a＞3，但a＞3⇏a＞4，所以a＞3是p的一个必要不充分条件，B正确；其他两个选项既不是充分条件也不是必要条件.故选B.]

23. (2024·江苏南通如东县高三开学考试)设p：|x - a|≤3，q：2x² + x - 1≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. [-$\frac{5}{2}$,2]
B. (-$\frac{5}{2}$,2)
C. [-2,$\frac{5}{2}$]
D. (-2,$\frac{5}{2}$)

答案： A [由|x - a|≤3，解得a - 3≤x≤a + 3，所以p：a - 3≤x≤a + 3，又由2x² + x - 1≤0，解得 - 1≤x≤$\frac{1}{2}$，所以q： - 1≤x≤$\frac{1}{2}$，因为p是q的必要不充分条件，所以$\begin{cases}a - 3≤ - 1 \\ a + 3≥\frac{1}{2}\end{cases}$，解得 - $\frac{5}{2}$≤a≤2，经检验，当a = - $\frac{5}{2}$时，p： - $\frac{11}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，满足题意；当a = 2时，p： - 1≤x≤5，满足题意.所以实数a的取值范围是[ - $\frac{5}{2}$，2].故选A.]

24. (2023·江苏扬州高三月考)已知p:$\begin{cases}x - 3≤2,\\-2x + 1＜3,\end{cases}$q:1 - m≤x≤1 + m(m≥0)，r:1 - t＜x≤1 + 2t.若p是r的充要条件，则t = ________；若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.

答案： 答案 2 [0，2)
解析 由$\begin{cases}x - 3≤2 \\ - 2x + 1＜3\end{cases}$可得 - 1＜x≤5，因为p是r的充要条件，所以$\begin{cases}1 - t = - 1 \\ 1 + 2t = 5\end{cases}$，解得t = 2.因为p是q的必要不充分条件，所以$\begin{cases}m≥0 \\ - 1＜1 - m \\ 1 + m≤5\end{cases}$，解得0≤m＜2.