《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

16.（2023·湖南师大附中高三月考）已知$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的左、右焦点，点$M$在双曲线的右支上，且$|MF_{1}|+|MF_{2}| = 6$，则$\angle MF_{2}F_{1}=$（ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： 16.D

17.（2024·河南省实验中学高三第一次月考）设$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt 0,b\gt 0)$的左、右焦点，$O$为坐标原点，过左焦点$F_{1}$作直线$F_{1}P$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$切于点$E$，与双曲线右支交于点$P$，且满足$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{1}})$，则双曲线的离心率为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $2$
D. $\sqrt{5}$

答案：
17.D[
∵E为圆x²+y²=a²上的点,
∴|OE|=a,
∵OE=$\frac{1}{2}$(OP+OF),
∴E是PF的中点,又O是FF的
　　　　　　　　　　　　　　 中点,
∴|PF|=2|OE|=2a,且PF2
　//OE,又|PF|−|PF2∣=2a,
∴|PF1|=4a,
∵PF1是圆的切线,
∴OE⊥PF1,
∴PF2⊥PF1,又|F1F|=2c'
∴4²=|PF1²+|PF21²=16a²+4a²=20a²,故c²=5a²,离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$.故选D.]

18.（2023·陕西西安长安区高三一模）已知点$F(4,0)$是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt 0,b\gt 0)$的右焦点，过点$F$向$C$的一条渐近线引垂线，垂足为$A$，交另一条渐近线于点$B$. 若$2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB}$，则双曲线$C$的方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
C. $\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1$
D. $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=1$

答案：
18.A[双曲线C:$\frac{x²}{a²}$−=1(a＞0,
　b＞0)的渐近线方程为bx±ay=0,
　　　　　　　　　　　　　　 不妨令点A在直线b.x−ay=0上,
　a²+b²=16,如图.因为AF⊥OA,
　则|AF|=$\frac{46}{\sqrt{a²+b²}}$=$\frac{46}{4}$=b,而
　2AF=FB,即有|FB|=2|AF|=2b,|AB|=3b,|OA|=
　　$\sqrt{OF|²−|AF|²}$=　$\sqrt{4²−b²}$=a,sin∠AOF=$\frac{b}{4}$,由2AF=
　FB知，点A,B在y轴同侧,于是∠AOB=2∠AOF∈(0，'$\frac{π}{2}$),cos∠AOB=1r2sin²∠AOF=1−$\frac{6²}{8}$＞0,b²＜8,在Rt△AOB中,|OB|=　$\sqrt{[OA|+|AB|}$=　$\sqrt{a²+96²}$=　$\sqrt{16+86}$
　由|OA|=|OB}cos∠AOB,得α=　$\sqrt{16+86}$.(1−$\frac{6²}{8}$),整理,得8(16−b²)=(b²+2)(8−b²)²,则6²−146²+40=0,解得b²=4或b²=10(舍去),所以b²=4,a²=12,双曲线C的方程为$\frac{x?}{12}$−=1.故选A.]

19.（多选）（2023·广东茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”如图，利用了双曲线的光学性质：$F_{1},F_{2}$是双曲线的左、右焦点，从$F_{2}$发出的光线$m$射在双曲线右支上一点$P$，经点$P$反射后，反射光线的反向延长线过$F_{1}$；当$P$异于双曲线顶点时，双曲线在点$P$处的切线平分$\angle F_{1}PF_{2}$. 若双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$，则下列结论正确的是（ ）

A. 射线$n$所在直线的斜率为$k$，则$k\in(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$
B. 当$m\perp n$时，$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}| = 32$
C. 当$n$过点$Q(7,5)$时，光线由$F_{2}$到$P$再到$Q$所经过的路程为$13$
D. 若点$T$的坐标为$(1,0)$，直线$PT$与$C$相切，则$|PF_{2}| = 12$

答案： 19.ABD[因为双曲线C的方程为$\frac{x²}{9}$−辽16=1,所以a=3,b=4,c=5,渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x.对于A,因为直线PF1与双曲线有两个交点，所以k∈(-$\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$),A正确;对于B,由双曲线的定义知,|PF11−|PF2|=2a=6,若m⊥n,则|PF11²+|PF21²=|F1F1²=(2c)²=100,因为(|PF1−｜PF1)²=
　|PF1²+|PF2|²−2|PF|.|PF2|,所以36=100−2|PF1|.|PF21,解得|PF|.|PF|=32,B正确;对于C,|PF|+|PQ|=(｜PF{−2a)+|PQ|=|FQ|−2a=　$\sqrt{(7+5)²+(5−0)²}$−2×3=7,C错误;对于D,因为PT平分∠FPF,由角平分线定理知，,TFF　　$\frac{|PF|}{|TF}$,所以PF2|TF2$\frac{5+1}{5−1}$=$\frac{3}{2}$,又|PF∣−|PF2|=6,所以$\frac{3}{2}$|PF2∣−|PF2|=6,解得|PF∣=
　12,D正确.故选ABD.]

20.（多选）（2023·湖南岳阳二模）已知双曲线$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a\gt 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$，过点$F_{2}$作直线与双曲线$E$的右支交于$P,Q$两点，在点$P$处作双曲线$E$的切线，与$E$的两条渐近线分别交于$A,B$，则（ ）
A. 若$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}| = 2$，则$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}} = 0$
B. 若$\frac{a}{\sin\angle PF_{1}F_{2}}=\frac{c}{\sin\angle PF_{2}F_{1}}$，则双曲线的离心率$e\in(1,\sqrt{2}+1]$
C. $\triangle F_{1}PQ$周长的最小值为$8$
D. $\triangle AOB$（$O$为坐标原点）的面积为定值

答案： 20.ACD