《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

10.（多选）$(1 + ax)^{2023}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{2023}x^{2023}$，若$a_{1}=-6069$，则下列结论正确的是（ ）
A.$a = 3$
B.$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2023}=-2^{2023}$
C.$\frac{a_{1}}{3}+\frac{a_{2}}{3^{2}}+\cdots+\frac{a_{2023}}{3^{2023}}=-1$
D.$(1 + ax)^{2023}$的展开式中第1012项的系数最大

答案： 10.BC [对于 A,$a_{1}=C_{2023}^{1}\cdot a = 2023a=-6069$,可得$a=-3$,故 A 错误;对于 B,因为$(1 - 3x)^{2023}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{2023}x^{2023}$,令$x = 1$,得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2023}=(1 - 3)^{2023}=-2^{2023}$,故 B 正确;对于 C,令$x = 0$,则$a_{0}=1$,令$x=\frac{1}{3}$,则$\frac{a_{1}}{3}+\frac{a_{2}}{3^{2}}+\cdots+\frac{a_{2023}}{3^{2023}}=(1 - 3\times\frac{1}{3})^{2023}-a_{0}=-a_{0}=-1$,故 C 正确;对于 D,由展开式知,$a_{2n}＞0,a_{2n + 1}＜0(n\in N)$,故第1011项的系数$a_{1011}＜0$,不会是展开式中系数最大的项,故 D 错误.

11.若$(1 + mx)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}(m\neq0,n\in\mathbf{N}^{*})$的各项系数和与二项式系数和均为32，则$m + n=$________，$a_{3}=$________.

答案： 11.答案 6 10
解析 $\because$二项式系数和为32,$\therefore 2^{n}=32,\therefore n = 5$,$\because$各项系数和为32,$\therefore$令$x = 1$,则$(1 + m)^{5}=32,\therefore m = 1,\therefore m + n = 6$,$(1 + mx)^{n}=(1 + x)^{5}$的展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{5}^{k}x^{k},\therefore a_{3}=C_{5}^{3}=10$.

12.若$(ax+\frac{1}{x})(2x - 1)^{5}$的展开式中各项系数的和为2，则实数$a=$________，该展开式中的常数项为________.

答案： 12.答案 1 10
解析 因为$(ax+\frac{1}{x})(2x - 1)^{5}$的展开式中各项系数的和为2,所以令$(ax+\frac{1}{x})(2x - 1)^{5}$中的$x = 1$,可得$a + 1 = 2$,所以$a = 1$.因为$(2x - 1)^{5}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{5}^{r}(2x)^{5 - r}(-1)^{r}=C_{5}^{r}(-1)^{r}2^{5 - r}x^{5 - r},r = 0,1,2,3,4,5$,所以$(x+\frac{1}{x})(2x - 1)^{5}$的展开式中常数项为$1\times C_{5}^{4}\times(-1)^{4}\times2 = 10$.

13.(2023·北京高考)$(2x-\frac{1}{x})^{5}$的展开式中$x$的系数为（ ）
A.-80
B.-40
C.40
D.80

答案： 13.D $[(2x-\frac{1}{x})^{5}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{5}^{r}(2x)^{5 - r}(-\frac{1}{x})^{r}=(-1)^{r}2^{5 - r}C_{5}^{r}x^{5 - 2r}$,令$5 - 2r = 1$,得$r = 2$,所以$(2x-\frac{1}{x})^{5}$的展开式中$x$的系数为$(-1)^{2}\times2^{5 - 2}\times C_{5}^{2}=80$. 故选 D.

14.(2022·北京高考)若$(2x - 1)^{4}=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$，则$a_{0}+a_{2}+a_{4}=$（ ）
A.40
B.41
C.-40
D.-41

答案： 14.B [令$x = 1$,则$a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=1$,令$x=-1$,则$a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=(-3)^{4}=81$,故$a_{4}+a_{2}+a_{0}=\frac{1 + 81}{2}=41$. 故选 B.

15.(2019·全国Ⅲ卷)$(1 + 2x^{2})(1 + x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为（ ）
A.12
B.16
C.20
D.24

答案： 15.A [解法一:$(1 + 2x^{2})(1 + x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为$1\times C_{4}^{3}+2C_{4}^{1}=12$. 故选 A.
解法二:$\because(1 + 2x^{2})(1 + x)^{4}=(1 + 2x^{2})(1 + 4x + 6x^{2}+4x^{3}+x^{4}),\therefore x^{3}$的系数为$1\times4+2\times4 = 12$. 故选 A.

16.(2023·天津高考)在$(2x^{3}-\frac{1}{x})^{6}$的展开式中，$x^{2}$的系数是________.

答案： 16.答案 60
解析 解法一:二项式$(2x^{3}-\frac{1}{x})^{6}$展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{6}^{k}(2x^{3})^{6 - k}(-\frac{1}{x})^{k}=(-1)^{k}2^{6 - k}C_{6}^{k}x^{18 - 4k}$,令$18 - 4k = 2$,解得$k = 4$,所以$x^{2}$的系数为$(-1)^{4}\times2^{2}\times C_{6}^{4}=60$.
解法二:将二项式$(2x^{3}-\frac{1}{x})^{6}$看成6个多项式$(2x^{3}-\frac{1}{x})$相乘,要想出现$x^{2}$项,则先在2个多项式中分别取$2x^{3}$,然后在余下的多项式中都取$-\frac{1}{x}$,相乘,即$C_{6}^{2}(2x^{3})^{2}\times C_{4}^{4}(-\frac{1}{x})^{4}=60x^{2}$,所以$x^{2}$的系数为60.

17.(2022·新高考Ⅰ卷)$(1-\frac{y}{x})(x + y)^{8}$的展开式中$x^{2}y^{6}$的系数为________（用数字作答）.

答案： 17.答案 -28
解析 展开式中含有$x^{2}y^{6}$的项为$1\cdot C_{8}^{6}x^{2}y^{6}-\frac{y}{x}\cdot C_{8}^{5}x^{3}y^{5}=-28x^{2}y^{6}$.

18.(2022·天津高考)$(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}})^{5}$的展开式中的常数项为________.

答案： 18.答案 15
解析 $\because(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}})^{5}$的展开式的通项是$C_{5}^{r}(\sqrt{x})^{5 - r}(\frac{3}{x^{2}})^{r}=C_{5}^{r}3^{r}x^{\frac{5 - 5r}{2}}$,要求展开式中的常数项,只要使$5 - 5r = 0$,即$r = 1$,$\therefore$常数项是$C_{5}^{1}\times3 = 15$.

19.(2022·浙江高考)已知多项式$(x + 2)(x - 1)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}$，则$a_{2}=$________，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$________.

答案： 19.答案 8 -2
解析 含$x^{2}$的项为$x\cdot C_{4}^{3}\cdot x\cdot(-1)^{3}+2\cdot C_{4}^{2}\cdot x^{2}\cdot(-1)^{2}=-4x^{2}+12x^{2}=8x^{2}$,故$a_{2}=8$. 令$x = 0$,即$2 = a_{0}$,令$x = 1$,即$0 = a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5},\therefore a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=-2$.

20.(2022·上海高考)二项式$(3 + x)^{n}$的展开式中，$x^{2}$项的系数是常数项的5倍，则$n=$________.

答案： 20.答案 10
解析 $\because$二项式$(3 + x)^{n}$的展开式中,$x^{2}$项的系数是常数项的5倍,即$C_{n}^{2}\times3^{n - 2}=5C_{n}^{0}\times3^{n}$,即$\frac{n(n - 1)}{2}=5\times9,\therefore n = 10$.

21.(2021·浙江高考)已知多项式$(x - 1)^{3}+(x + 1)^{4}=x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}$，则$a_{1}=$________；$a_{2}+a_{3}+a_{4}=$________.

答案： 21.答案 5 10
解析 $(x - 1)^{3}$的展开式的通项$T_{r + 1} = C_{3}^{r}x^{3 - r}\cdot(-1)^{r},(x + 1)^{4}$的展开式的通项$T_{k + 1} = C_{4}^{k}x^{4 - k}$,则$a_{1}=C_{3}^{0}+C_{4}^{1}=1 + 4 = 5$.
解法一:$a_{2}=C_{3}^{1}(-1)^{1}+C_{4}^{2}=3,a_{3}=C_{3}^{2}(-1)^{2}+C_{4}^{3}=7,a_{4}=C_{3}^{3}(-1)^{3}+C_{4}^{4}=0$. 所以$a_{2}+a_{3}+a_{4}=3 + 7+0 = 10$.
解法二:令$x = 1$,得$2^{4}=1 + a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$,所以$a_{2}+a_{3}+a_{4}=16 - 1 - a_{1}=10$.