《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

14.（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线$y=(x + a)\text{e}^{x}$有两条过坐标原点的切线，则$a$的取值范围是________。

答案： 答案 $(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$
解析 因为$y=(x + a)e^{x}$，所以$y'=(x + a + 1)e^{x}$. 设切点为$A(x_{0},(x_{0}+a)e^{x_{0}})$，$O$为坐标原点，依题意得，切线斜率$k_{OA}=(x_{0}+a + 1)e^{x_{0}}=\frac{(x_{0}+a)e^{x_{0}}}{x_{0}}$，化简，得$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$. 因为曲线$y=(x + a)e^{x}$有两条过坐标原点的切线，所以关于$x_{0}$的方程$x_{0}^{2}+ax_{0}-a = 0$有两个不同的根，所以$\Delta=a^{2}+4a\gt0$，解得$a\lt -4$或$a\gt0$，所以$a$的取值范围是$(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$.

15.（2022·新高考Ⅱ卷）曲线$y=\ln|x|$过坐标原点的两条切线的方程为________，________。

答案： 答案 $y=\frac{1}{e}x$ $y=-\frac{1}{e}x$
解析 当$x\gt0$时，$y=\ln x$，设切点为$(x_{0},\ln x_{0})$，由$y'=\frac{1}{x}$，得$y'\vert_{x = x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$，所以切线方程为$y-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x - x_{0})$，又切线过坐标原点，所以$-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}(-x_{0})$，解得$x_{0}=e$，所以切线方程为$y - 1=\frac{1}{e}(x - e)$，即$y=\frac{1}{e}x$；当$x\lt0$时，$y=\ln(-x)$，设切点为$(x_{1},\ln(-x_{1}))$，由$y'=\frac{1}{x}$，得$y'\vert_{x = x_{1}}=\frac{1}{x_{1}}$，所以切线方程为$y-\ln(-x_{1})=\frac{1}{x_{1}}(x - x_{1})$，又切线过坐标原点，所以$-\ln(-x_{1})=\frac{1}{x_{1}}(-x_{1})$，解得$x_{1}=-e$，所以切线方程为$y - 1=\frac{1}{-e}(x + e)$，即$y=-\frac{1}{e}x$.

16.（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数$f(x)$：________。
①$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$；②当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)\gt0$；③$f'(x)$是奇函数。

答案： 答案 $f(x)=x^{4}$(答案不唯一，$f(x)=x^{2n}(n\in N^{*})$均满足)
解析 取$f(x)=x^{4}$，则$f(x_{1}x_{2})=(x_{1}x_{2})^{4}=x_{1}^{4}x_{2}^{4}=f(x_{1})\cdot f(x_{2})$，满足①；$f'(x)=4x^{3}$，当$x\gt0$时有$f'(x)\gt0$，满足②；$f'(x)=4x^{3}$的定义域为$R$，又$f'(-x)=-4x^{3}=-f'(x)$，故$f'(x)$是奇函数，满足③.

17.（2023·广西南宁高三模拟）已知$f(x)=x^{3}-\frac{1}{x}$在$x = 1$处的切线与直线$l$垂直，若直线$l$与$x$，$y$轴的正半轴围成的三角形的面积为2，则直线$l$的方程为（ ）
A. $4x + y - 4 = 0$
B. $4x - y - 4 = 0$
C. $x - 4y - 4 = 0$
D. $x + 4y - 4 = 0$

答案： D [由$f'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，得$f'(1)=4$，故直线$l$的斜率为$-\frac{1}{4}$，令$l:y=-\frac{1}{4}x + m(m\gt0)$，由题意知$\frac{1}{2}\cdot m\cdot4 = 2$，解得$m = 1$，故直线$l$的方程为$x + 4y - 4 = 0$.]

18.（2023·重庆高三模拟）已知偶函数$f(x)$，当$x\gt0$时，$f(x)=x^{2}-f'(1)x + 2$，则$f(x)$的图象在点$(-2,f(-2))$处的切线的斜率为（ ）
A. -3
B. 3
C. -5
D. 5

答案： A [$\because$当$x\gt0$时，$f'(x)=2x - f'(1)$，$\therefore f'(1)=2 - f'(1)$，解得$f'(1)=1$，$\therefore$当$x\gt0$时，$f(x)=x^{2}-x + 2$；当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$\therefore f(-x)=x^{2}+x + 2$，又$f(x)$为偶函数，$\therefore f(x)=f(-x)=x^{2}+x + 2$，即$x\lt0$时，$f(x)=x^{2}+x + 2$，则$f'(x)=2x + 1$，$\therefore f'(-2)=-4 + 1=-3$.]

19.（2023·湖北黄冈高三模拟）已知$a$，$b$为正实数，直线$y = x - a$与曲线$y=\ln(x + b)$相切，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 13

答案： B [设切点为$(x_{0},y_{0})$，$y=\ln(x + b)$的导数为$y'=\frac{1}{x + b}$，由切线的方程$y = x - a$可得切线的斜率为$1$，令$\frac{1}{x_{0}+b}=1$，$x_{0}=1 - b$，则$y_{0}=\ln(1 - b + b)=0$，故切点为$(1 - b,0)$，代入$y = x - a$，得$a + b = 1$，$\because a$，$b$为正实数，$\therefore\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(a + b)\cdot(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})=5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\geqslant5 + 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{4a}{b}}=9$，当且仅当$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$取得最小值$9$.]

20.（多选）（2023·广东揭阳高三模拟）吹气球时，记气球的半径$r$与体积$V$之间的函数关系为$r(V)$，$r'(V)$为$r(V)$的导函数．已知$r(V)$在$0\leq V\leq3$上的图象如图所示，若$0\leq V_{1}\leq V_{2}\leq3$，则下列结论正确的是（ ）

A. $\frac{r(1)-r(0)}{1 - 0}\lt\frac{r(2)-r(1)}{2 - 1}$
B. $r'(1)\gt r'(2)$
C. $r(\frac{V_{1}+V_{2}}{2})\lt\frac{r(V_{1})+r(V_{2})}{2}$
D. 存在$V_{0}\in(V_{1},V_{2})$，使得$r'(V_{0})=\frac{r(V_{2})-r(V_{1})}{V_{2}-V_{1}}$

答案： BD [对于A，设$\tan\alpha=\frac{r(1)-r(0)}{1 - 0}$，$\tan\theta=\frac{r(2)-r(1)}{2 - 1}$，由图得$\alpha\gt\theta$，所以$\tan\alpha\gt\tan\theta$，所以$\frac{r(1)-r(0)}{1 - 0}\gt\frac{r(2)-r(1)}{2 - 1}$，所以A错误；对于B，由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得$r'(1)\gt r'(2)$，所以B正确；对于C，设$V_{1}=0$，$V_{2}=3$，则$r(\frac{V_{1}+V_{2}}{2})=r(\frac{3}{2})$，$\frac{r(V_{1})+r(V_{2})}{2}=\frac{r(3)}{2}$，因为$r(\frac{3}{2})-r(0)\gt r(3)-r(\frac{3}{2})$，所以$r(\frac{3}{2})\gt\frac{r(3)}{2}$，所以C错误；对于D，$\frac{r(V_{2})-r(V_{1})}{V_{2}-V_{1}}$表示$A(V_{1},r(V_{1}))$，$B(V_{2},r(V_{2}))$两点之间的斜率，$r'(V_{0})$表示$C(V_{0},r(V_{0}))$处切线的斜率，由于$V_{0}\in(V_{1},V_{2})$，所以可以平移直线$AB$使之和曲线相切，切点就是点$C$，所以D正确.]

21.（多选）（2023·山东烟台高三模拟）已知函数$f(x)=\ln x - x + t$，直线$l:y=-\frac{1}{2}x+\ln2 + 2$，点$P(x_{0},f(x_{0}))$在函数$y = f(x)$的图象上，则下列说法错误的是（ ）
A. 若直线$l$是曲线$y = f(x)$的切线，则$t=-3$
B. 若直线$l$与曲线$y = f(x)$无公共点，则$t\gt - 3$
C. 若$t=-2$，则点$P$到直线$l$的最短距离为$\sqrt{5}$
D. 若$t=-2$，当点$P$到直线$l$的距离最短时，$x_{0}=2$

答案： ABC [$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1}{x}-1$，若直线$l$是曲线$y = f(x)$的切线，则$f'(x)=-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}-1=-\frac{1}{2}\Rightarrow x = 2$，代入$y=-\frac{1}{2}x+\ln 2 + 2$得$y = 1+\ln 2$，$\therefore f(2)=1+\ln 2\Rightarrow\ln 2-2 + t=1+\ln 2\Rightarrow t = 3$，故A错误；若$t=-2$，当在点$P$处的切线平行于直线$l$时，点$P$到直线$l$的距离最短，则$f'(x_{0})=-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x_{0}}-1=-\frac{1}{2}\Rightarrow x_{0}=2$，故D正确；此时$f(2)=\ln 2-4$，故$P(2,\ln 2-4)$，点$P$到直线$l:x + 2y-2\ln 2-4 = 0$的距离为$\frac{\vert2 + 2(\ln 2-4)-2\ln 2-4\vert}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，故C错误；设$\ln x-x + t=-\frac{1}{2}x+\ln 2 + 2\Rightarrow t=\frac{x}{2}-\ln x+\ln 2 + 2$，令$g(x)=\frac{x}{2}-\ln x+\ln 2 + 2$，则$g'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}=\frac{x - 2}{2x}$，当$x\in(0,2)$时，$g'(x)\lt0$，$g(x)$单调递减，当$x\in(2,+\infty)$时，$g'(x)\gt0$，$g(x)$单调递增，$\therefore g(x)_{\min}=g(2)=3$，又$x\to0$时，$g(x)\to+\infty$；$x\to+\infty$时，$g(x)\to+\infty$，$\therefore$若直线$l$与曲线$y = f(x)$无公共点，则$t\lt3$，故B错误.]