《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

6.（2023·福建福州高三模拟）已知函数$f(x)=e^{x}-\frac{1}{3}ax^{3}-\frac{1}{2}bx^{2}-x$，其中$a,b\in R$，$e = 2.71828\cdots$为自然对数的底数.
(1)若$a = 0$，$b = 1$，证明：当$x\geq0$时，$f(x)\geq1$；当$x\lt0$时，$f(x)\lt1$；
(2)若$a + b = e - 1$，函数$f(x)$在区间(0,1)上不单调，求a的取值范围.

答案： 解　
(1)证明:当a=0,b=1时,f(x)=e²−$\frac{1}{2}$x²−x,f(x)=
　e−x−1,
　令p(x)=e²−x−1,则p’(x)=e²−1.
　当x≥0时,p’(x)=e²−1≥0,故f(x)单调递增;
　当x＜0时,p'(x)=e−1＜0,故f(x)单调递减,
　故f(x)≥f
(0)=0,故∮(x)单调递增,
又f
(0)=1,
所以当x≥0时,f(x)≥1;当.＜0时,f(x)＜1.
(2)函数f(x)在区间(0,1)上不单调,即f(x)=e²−a.x²−bx −1在区间(0,1)上存在变号零点,
由a+b=e−1可知f
(1)=0,又f
(0)=0,
而函数f(x)在区间(0,1)上有零点,则函数f(x)在区间(0,1)
上至少有三个单调区间，
令m(x)=e²−ax²−bx−1,则m'(x2)=e²−2ax−b.
令g(x)=e²−2ax−b,则g'(x)=e²−2a,x∈[0,1].
①若a≤$\frac{1}{2}$,则2a＜1,g’(x)=e²−2a≥0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,
函数g(x)即m(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足"函数f(x)在区间(0,1)上至少有三个单调区间"这一要求.
②若a≥$\frac{e}{2}$,则2a≥e,g’(x)=e²−2a＜0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,
函数g(x)即m'(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足"函数f(x)在区间(0,1)上至少有三个单调区间"这一要求.
③若$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$,则1＜2a＜e,
于是当0＜x＜ln(2a)时,g(x)=e²−2a＜0;
当1n(2a)＜x＜1时,g'(x)=e²−2a＞0,
所以函数g(x)在区间[o,ln(2a)]上单调递减,在区间
[1n(2a),1]上单调递增，
则g(x)min=2a−2aln(2a)−b=3a−2aln(2a)−e+1,
令h(x)=$\frac{3}{2}$x−xlnx−e+1(1＜x＜e),
则h'(x)=$\frac{1}{2}$−1nx,
由h'(x)＞0,得1＜r＜$\sqrt{e}$,
由h'(x)＜0,得$\sqrt{e}$＜x＜e,
所以h(x)在区间(1$\sqrt{e}$)上单调递增,在区间($\sqrt{e}$,e)上单调递减.h(x)mx=h)=√e−√eln$\sqrt{e}$−e+1=√∈−e+1＜0,
即g(x)min＜0恒成立,
要使函数f(x)在区间(0,1)上至少有三个单调区间,
则{gg(
(01))==2−−ae++1a＞＞00,,得e−2＜a＜1,
又$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$,所以e−2＜a＜1.
综上,a的取值范围为(e−2,1).