《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

2.(2023·湖南岳阳高三模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产。在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检。已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为$p_1=\frac{1}{10}$，$p_2=\frac{1}{9}$，$p_3=\frac{1}{8}$。
(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验。在芯片智能自动检测显示合格率为90％的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率。

答案： 解　
(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P = 1-(1 - $\frac{1}{10}$)×(1 - $\frac{1}{9}$)×(1 - $\frac{1}{8}$)=$\frac{3}{10}$。
(2)设该批次智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，则P(A)=$\frac{9}{10}$，P(AB)=1 - $\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}$=$\frac{7}{9}$。

3.(2023·河南郑州高三模拟)某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20％的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购。已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件。
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4％，2％和1％，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？

答案： 解　
(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8 - a，由已知可得600a+(0.8 - a)800 + 500×0.2 = 640，解得a = 0.5。所以需要从甲厂订购配件M 10×0.5 = 5万个；从乙厂订购配件M 10×(0.8 - 0.5)=3万个。
(2)由
(1)知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为0.5×0.04+0.3×0.02+0.2×0.01 = 0.028，所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028。
(3)设A = “该轿车使用了次品配件M”，$B_{1}$=“配件M来自甲厂”，$B_{2}$=“配件M来自乙厂”，$B_{3}$=“配件M来自本厂”。由
(2)可知P(A)=0.028，该次品配件M来自甲厂的概率为P($B_{1}$|A)=$\frac{P(AB_{1})}{P(A)}$=$\frac{P(B_{1})P(A|B_{1})}{P(A)}$=$\frac{0.5×0.04}{0.028}$=$\frac{5}{7}$，该次品配件M来自乙厂的概率为P($B_{2}$|A)=$\frac{P(AB_{2})}{P(A)}$=$\frac{P(B_{2})P(A|B_{2})}{P(A)}$=$\frac{0.3×0.02}{0.028}$=$\frac{3}{14}$，该次品配件M来自本厂的概率为P($B_{3}$|A)=$\frac{P(AB_{3})}{P(A)}$=$\frac{P(B_{3})P(A|B_{3})}{P(A)}$=$\frac{0.2×0.01}{0.028}$=$\frac{1}{14}$，所以甲厂应承担的费用为14000×$\frac{5}{7}$=10000元，乙厂应承担的费用为14000×$\frac{3}{14}$=3000元，本厂应承担的费用为14000×$\frac{1}{14}$=1000元。