《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

19. (2024·甘肃白银开学考试)若x＞3，则4x + $\frac{1}{x - 3}$的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 16
D. 17

答案： C [由于$x＞3$，所以$x - 3＞0,4x+\frac{1}{x - 3}=4(x - 3)+\frac{1}{x - 3}+12\geq2\sqrt{4(x - 3)\cdot\frac{1}{x - 3}}+12 = 16$，当且仅当$4(x - 3)=\frac{1}{x - 3}$，即$x=\frac{7}{2}$时，等号成立，故$4x+\frac{1}{x - 3}$的最小值为16. 故选C.]

20. (2024·浙江名校开学联考)已知b＞a＞0，2a + b = ab，则$\frac{4}{2a - 1}$ + $\frac{1}{b - 2}$的最小值为（ ）
A. $\frac{9}{4}$
B. $\frac{7}{4}$
C. $\frac{7}{3}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： B [由$2a + b = ab\Rightarrow a(2 - b)+b = 0\Rightarrow(a - 1)(b - 2)=2$，且$b＞2,a＞1$，故$\frac{4}{2a - 1}+\frac{1}{b - 2}=\frac{4}{2a - 1}+\frac{a-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{2}=\frac{4}{2a - 1}+\frac{a-\frac{1}{2}}{2}-\frac{1}{4}\geq2\sqrt{\frac{4}{2a - 1}\cdot\frac{a-\frac{1}{2}}{2}}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，当且仅当$\frac{4}{2a - 1}=\frac{a-\frac{1}{2}}{2}$，即$a=\frac{5}{2},b=\frac{10}{3}$时取等号. 故选B.]

21. (2024·重庆涪陵中学高三开学考试)已知曲线y = $a^{x - 1}$ + 1(a＞0且a≠1)过定点(k，b)，若m + n = b - k且m＞0，n＞0，则$\frac{9}{m}$ + $\frac{1}{n}$的最小值为（ ）
A. 9
B. $\frac{9}{2}$
C. 16
D. $\frac{5}{2}$

答案： C [曲线$y=a^{x - 1}+1(a＞0$且$a\neq1)$中，由$x - 1 = 0$，得$x = 1,y = 2$，因此该曲线过定点$(1,2)$，即$k = 1,b = 2$，于是$m + n = 1$，又$m＞0,n＞0$，因此$\frac{9}{m}+\frac{1}{n}=(m + n)(\frac{9}{m}+\frac{1}{n})=10+\frac{9n}{m}+\frac{m}{n}\geq10 + 2\sqrt{\frac{9n}{m}\cdot\frac{m}{n}}=16$，当且仅当$\frac{9n}{m}=\frac{m}{n}$，即$m = 3n=\frac{3}{4}$时取等号，所以$\frac{9}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为16. 故选C.]

22. (2023·山西省太原市第五中学高三下二模)若正实数a，b满足a + b = 1，则$\frac{a^2}{b + 1}$ + $\frac{b^2}{a + 1}$的最小值为（ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{4}$
C. 2
D. 2$\sqrt{2}$

答案： A [$\frac{a^{2}}{b + 1}+\frac{b^{2}}{a + 1}=\frac{1}{3}(a + 1 + b + 1)(\frac{a^{2}}{b + 1}+\frac{b^{2}}{a + 1})=\frac{1}{3}[a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}(a + 1)}{b + 1}+\frac{b^{2}(b + 1)}{a + 1}]\geq\frac{1}{3}[a^{2}+b^{2}+2\sqrt{\frac{a^{2}(a + 1)}{b + 1}\cdot\frac{b^{2}(b + 1)}{a + 1}}]=\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+2ab)=\frac{1}{3}(a + b)^{2}=\frac{1}{3}$，当且仅当$\begin{cases}a + b = 1\\\frac{a^{2}(a + 1)}{b + 1}=\frac{b^{2}(b + 1)}{a + 1}\end{cases}$，即$a = b=\frac{1}{2}$时等号成立，故$\frac{a^{2}}{b + 1}+\frac{b^{2}}{a + 1}$的最小值为$\frac{1}{3}$.]

23. (2024·四川巴中市高三开学考试)已知x＞y＞0且4x + 3y = 1，则$\frac{1}{2x - y}$ + $\frac{2}{x + 2y}$的最小值为（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7

答案： B [由题意$x＞y＞0$，得$2x - y＞0,x + 2y＞0$，令$a = 2x - y,b = x + 2y$，则$a + 2b = 4x + 3y$，由$4x + 3y = 1$，得$a + 2b = 1$，故$\frac{1}{2x - y}+\frac{2}{x + 2y}=(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a + 2b)=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geq5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{2a}{b}}=9$，当且仅当$a = b=\frac{1}{3}$，即$x=\frac{1}{5},y=\frac{1}{15}$时，等号成立，故$\frac{1}{2x - y}+\frac{2}{x + 2y}$的最小值为9. 故选B.]

24. (多选)(2023·广东汕头一模)已知正实数a，b满足a + 2b = ab，则下列不等式正确的是（ ）
A. $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$≥2 B. a + 2b≥8
C. log$_2$a + log$_2$b＜3 D. 2a + b≥9

答案： BD [对于A，因为正实数$a,b$满足$a + 2b = ab$，所以$\frac{a + 2b}{ab}=1$，即$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，所以A错误；对于B，因为$a＞0,b＞0,a + 2b = ab$，所以$a + 2b\geq2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2(a + 2b)}$，当且仅当$a = 2b$时取等号，所以$(a + 2b)^{2}\geq8(a + 2b)$，因为$a + 2b＞0$，所以$a + 2b\geq8$，当且仅当$a = 2b$时取等号，所以B正确；对于C，若$\log_{2}a+\log_{2}b＜3$，则$\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}(ab)＜3=\log_{2}8$，所以$ab＜8$，所以$a + 2b＜8$，而由B项可知$a + 2b\geq8$，所以$\log_{2}a+\log_{2}b＜3$不成立，所以C错误；对于D，因为$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，所以$2a + b=(2a + b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq5 + 2\sqrt{\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{a}}=9$，当且仅当$\frac{2a}{b}=\frac{2b}{a},\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，即$a = b = 3$时取等号，所以D正确.]

25. (2024·辽宁朝阳高三校考阶段练习)已知x＞y＞0，则$x^2$ + $\frac{4}{y(x - y)}$的最小值为______.

答案： 答案 8
解析 由$x＞y＞0$，可得$x - y＞0$，可得$x^{2}+\frac{4}{y(x - y)}\geq x^{2}+\frac{4}{[\frac{y+(x - y)}{2}]^{2}}=x^{2}+\frac{16}{x^{2}}$，当且仅当$y = x - y$，即$x = 2y$时，等号成立，又由$x^{2}+\frac{16}{x^{2}}\geq2\sqrt{x^{2}\times\frac{16}{x^{2}}}=8$，当且仅当$x^{2}=\frac{16}{x^{2}}$，即$x = 2$时，等号成立. 综上所述，当$x = 2y = 2$时，$x^{2}+\frac{4}{y(x - y)}$取得最小值8.

26. (2023·天津市九校联考一模)设a＞2b＞0，那么$\frac{a^4 + 1}{b(a - 2b)}$的最小值是______.

答案： 答案 16
解析 因为$a＞2b＞0$，则$b(a - 2b)=\frac{1}{2}\cdot2b(a - 2b)\leq\frac{1}{2}(\frac{2b + a - 2b}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{8}$，当且仅当$2b = a - 2b$，即$b=\frac{1}{4}a$时取“$=$”，所以$\frac{a^{4}+1}{b(a - 2b)}\geq\frac{a^{4}+1}{\frac{a^{2}}{8}}=8(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})\geq8\times2\sqrt{a^{2}\cdot\frac{1}{a^{2}}}=16$，当且仅当$a^{2}=\frac{1}{a^{2}}$，即$a = 1$时取“$=$”，所以当$a = 1,b=\frac{1}{4}$时，$\frac{a^{4}+1}{b(a - 2b)}$取得最小值16.