《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

12. (2022·全国甲卷)设函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$在区间$(0,\pi)$恰有三个极值点、两个零点，则$\omega$的取值范围是（ ）
A. $[\frac{5}{3},\frac{13}{6})$
B. $[\frac{5}{3},\frac{19}{6})$
C. $(\frac{13}{6},\frac{8}{3}]$
D. $(\frac{13}{6},\frac{19}{6}]$

答案：
[依题意可得$\omega＞0$，因为$x\in(0,\pi)$，所以$\omega x+\frac{\pi}{3}\in(\frac{\pi}{3},\omega\pi+\frac{\pi}{3})$，要使函数在区间$(0,\pi)$恰有三个极值点、两个零点，又$y = \sin x$，$x\in(\frac{\pi}{3},3\pi)$的图象如图所示，则$\frac{5\pi}{2}＜\omega\pi+\frac{\pi}{3}\leqslant3\pi$，解得$\frac{13}{6}＜\omega\leqslant\frac{8}{3}$，即$\omega$的取值范围是$(\frac{13}{6},\frac{8}{3}]$. 故选C.]

13. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数$f(x)=\sin(2x+\varphi)(0＜\varphi＜\pi)$的图象关于点$(\frac{2\pi}{3},0)$中心对称，则（ ）
A. $f(x)$在区间$(0,\frac{5\pi}{12})$单调递减
B. $f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12})$有两个极值点
C. 直线$x=\frac{7\pi}{6}$是曲线$y = f(x)$的对称轴
D. 直线$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$是曲线$y = f(x)$的切线

答案： [由题意得$f(\frac{2\pi}{3})=\sin(\frac{4\pi}{3}+\varphi)=0$，所以$\frac{4\pi}{3}+\varphi=k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，即$\varphi=-\frac{4\pi}{3}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，又$0＜\varphi＜\pi$，所以$k = 2$时，$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，故$f(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$. 对于A，当$x\in(0,\frac{5\pi}{12})$时，$2x+\frac{2\pi}{3}\in(\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{2})$，由正弦函数$y = \sin u$的图象知，$y = f(x)$在区间$(0,\frac{5\pi}{12})$单调递减，故A正确；对于B，当$x\in(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12})$时，$2x+\frac{2\pi}{3}\in(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2})$，由正弦函数$y = \sin u$的图象知，$y = f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12})$只有1个极值点，故B错误；对于C，当$x=\frac{7\pi}{6}$时，$2x+\frac{2\pi}{3}=3\pi$，$f(\frac{7\pi}{6})=0$，所以直线$x=\frac{7\pi}{6}$不是曲线$y = f(x)$的对称轴，故C错误；对于D，由$y'=2\cos(2x+\frac{2\pi}{3})=-1$得$\cos(2x+\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$，解得$2x+\frac{2\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$或$2x+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，从而得$x = k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$或$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以曲线$y = f(x)$在点$(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$处的切线斜率为$-1$，切线方程为$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(x - 0)$，即$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$，故D正确. 故选AD.]

14. (2023·新课标Ⅰ卷)已知函数$f(x)=\cos\omega x - 1(\omega＞0)$在区间$[0,2\pi]$有且仅有3个零点，则$\omega$的取值范围是________.

答案： 答案 $[2,3)$
解析 因为$0\leqslant x\leqslant2\pi$，所以$0\leqslant\omega x\leqslant2\omega\pi$，令$f(x)=\cos\omega x - 1=0$，则$\cos\omega x=1$有3个根，令$t=\omega x$，则$\cos t = 1$有3个根，其中$t\in[0,2\omega\pi]$，结合余弦函数$y = \cos t$的图象性质可得$4\pi\leqslant2\omega\pi＜6\pi$，故$2\leqslant\omega＜3$.

15. (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，如图，$A,B$是直线$y=\frac{1}{2}$与曲线$y = f(x)$的两个交点，若$|AB|=\frac{\pi}{6}$，则$f(\pi)=$________.

答案： 答案 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析 设$A(x_1,\frac{1}{2})$，$B(x_2,\frac{1}{2})$，由$|AB|=\frac{\pi}{6}$可得$x_2 - x_1=\frac{\pi}{6}$，由$\sin x=\frac{1}{2}$可知，$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，由图可知，$\omega x_2+\varphi-(\omega x_1+\varphi)=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，即$\omega(x_2 - x_1)=\frac{2\pi}{3}$，则$\omega = 4$. 因为$f(\frac{2\pi}{3})=\sin(\frac{8\pi}{3}+\varphi)=0$，所以$\frac{8\pi}{3}+\varphi=k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，即$\varphi=-\frac{8\pi}{3}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$f(x)=\sin(4x-\frac{8\pi}{3}+k\pi)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3}+k\pi)(k\in\mathbf{Z})$，所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$或$f(x)=-\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，又因为$f(0)＜0$，所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，则$f(\pi)=\sin(4\pi-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

16. (2024·河北邢台四校高三月考)将函数$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$的图象向右平移$\varphi(\varphi＞0)$个单位长度，得到偶函数$g(x)$的图象，则$\varphi$的最小值是（ ）
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： [由题意可得$g(x)=2\sin[2(x-\varphi)+\frac{\pi}{6}]=2\sin(2x-2\varphi+\frac{\pi}{6})$，因为$g(x)$是偶函数，所以$-2\varphi+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，解得$\varphi=-\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$. 因为$\varphi＞0$，所以当$k = - 1$时，$\varphi$取得最小值$\frac{\pi}{3}$. 故选B.]

17. (2024·山东威海银滩高级中学高三月考)已知函数$f(x)=2\cos(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$，若$f(x)$在$[0,\pi)$内有且仅有3个零点和3条对称轴，则$\omega$的取值范围是（ ）
A. $(\frac{17}{6},\frac{10}{3}]$
B. $(\frac{17}{6},\frac{23}{6}]$
C. $[\frac{17}{6},\frac{10}{3}]$
D. $(\frac{7}{3},\frac{10}{3}]$

答案：
[由题意，当$x\in[0,\pi]$时，令$t=\omega x+\frac{\pi}{6}$，则$t\in[\frac{\pi}{6},\omega\pi+\frac{\pi}{6}]$，若$f(x)$在$[0,\pi]$内有且仅有3个零点和3条对称轴，则$y = 2\cos t$在$t\in[\frac{\pi}{6},\omega\pi+\frac{\pi}{6}]$内有且仅有3个零点和3条对称轴，则$3\pi＜\omega\pi+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{7\pi}{2}$，解得$\frac{17}{6}＜\omega\leqslant\frac{10}{3}$. 故选A.]

18. (2024·浙江嘉兴高三基础测试)将函数$f(x)=\sin2x$的图象向左平移$\frac{3\pi}{16}$个单位长度后得到函数$g(x)$的图象，若函数$g(x)$在$[-2m,m](m＞0)$上单调递增，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{7\pi}{32}]$
B. $(0,\frac{\pi}{16}]$
C. $[\frac{\pi}{16},\frac{7\pi}{32}]$
D. $(\frac{\pi}{16},\frac{7\pi}{32}]$

答案： [由题意知$g(x)=f(x+\frac{3\pi}{16})=\sin[2(x+\frac{3\pi}{16})]=\sin(2x+\frac{3\pi}{8})$，当$x\in[-2m,m]$时，$2x+\frac{3\pi}{8}\in[-4m+\frac{3\pi}{8},2m+\frac{3\pi}{8}]$，
$\because g(x)$在$[-2m,m]$上单调递增，$\therefore\begin{cases}-4m+\frac{3\pi}{8}\geqslant-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\2m+\frac{3\pi}{8}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}(k\in\mathbf{Z})$，$\therefore\begin{cases}m\leqslant\frac{7\pi}{32}-\frac{k\pi}{2}\\m\leqslant\frac{\pi}{16}+k\pi\end{cases}(k\in\mathbf{Z})$；若$\frac{7\pi}{32}-\frac{k\pi}{2}＞\frac{\pi}{16}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，则$k＜\frac{5}{48}$，此时$m\leqslant\frac{\pi}{16}+k\pi$，又$m＞0$，$\therefore k = 0$，$\therefore0＜m\leqslant\frac{\pi}{16}$；若$\frac{7\pi}{32}-\frac{k\pi}{2}\leqslant\frac{\pi}{16}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，则$k\geqslant\frac{5}{48}$，$k\geqslant1$，此时$m\leqslant\frac{7\pi}{32}-\frac{k\pi}{2}＜0$，与$m＞0$矛盾，不符合题意. 综上所述，实数$m$的取值范围为$(0,\frac{\pi}{16}]$. 故选B.]

19. (2023·山东潍坊一模)设函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$在区间$[t,t+\frac{\pi}{4}]$上的最大值为$g_1(t)$，最小值为$g_2(t)$，则$g_1(t)-g_2(t)$的最小值为（ ）
A. 1
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
D. $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

答案： [因为函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，所以其最小正周期为$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，而区间$[t,t+\frac{\pi}{4}]$的区间长度是该函数的最小正周期的$\frac{1}{4}$，因为函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$在区间$[t,t+\frac{\pi}{4}]$上的最大值为$g_1(t)$，最小值为$g_2(t)$，所以当区间$[t,t+\frac{\pi}{4}]$关于函数图象的对称轴对称时，$g_1(t)-g_2(t)$取得最小值，区间对称轴为直线$x=\frac{t+t+\frac{\pi}{4}}{2}=t+\frac{\pi}{8}$，此时函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$有最值$\pm1$，不妨设$y$取得最大值$g_1(t)=1$，则有$\sin[2(t+\frac{\pi}{8})+\frac{\pi}{3}]=1$，所以$\sin(2t+\frac{7\pi}{12})=1$，解得$2t+\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，得$t=k\pi-\frac{\pi}{24}$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$g_2(t)=\sin(2t+\frac{\pi}{3})=\sin[2(k\pi-\frac{\pi}{24})+\frac{\pi}{3}]=\sin(2k\pi+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(k\in\mathbf{Z})$，所以$g_1(t)-g_2(t)$的最小值为$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$. 故选D.]