《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

8. (多选)下列说法正确的是（ ）
A. 命题“∀x＞0，x²＞0”的否定是“∃x≤0，x²≤0”
B. “x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件
C. “a＞b”是“a²＞b²”的既不充分也不必要条件
D. 在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件

答案： BCD　[对于A，命题“∀x＞0，x²＞0”的否定是“∃x＞0，x²≤0”，故A错误；对于B，“x＞1”推不出“x＞2”成立，而“x＞2”能推出“x＞1”成立，故“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故B正确；对于C，“若a＞b，则a²＞b²”是假命题，因为1＞ - 2，而1²＜( - 2)². “若a²＞b²，则a＞b”是假命题，因为( - 2)²＞1²，而 - 2＜1，即“a＞b”是“a²＞b²”的既不充分也不必要条件，故C正确；对于D，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，又$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故D正确.故选BCD.]

9. 已知全集U = R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么¬p是________.

答案： 答案 x∉A或x∉B
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为x∉A或x∉B.

10. 已知命题p：|4 - x|≤6，q：x² - 2x + 1 - a²≥0(a＞0)，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.

答案： 答案 (0，3]
解析 ¬p：|4 - x|＞6⇔(4 - x)²＞36，
∴x＜ - 2或x＞10，记A = {x|x＜ - 2或x＞10}，q：x² - 2x + 1 - a²≥0(a＞0)，
∴x≤1 - a或x≥1 + a，记B = {x|x≤1 - a或x≥1 + a}，
∵¬p是q的充分不必要条件，
∴A⫋B，则$\begin{cases}1 - a≥ - 2 \\ 1 + a≤10 \\ a＞0\end{cases}$，解得0＜a≤3，故实数a的取值范围是(0，3].

11. 已知“p：(x - m)²＞3(x - m)”是“q：x² + 3x - 4＜0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.

答案： 答案 ( - ∞， - 7]∪[1， + ∞)
解析 由p中的不等式(x - m)²＞3(x - m)，得(x - m)(x - m - 3)＞0，解得x＞m + 3或x＜m.由q中的不等式x² + 3x - 4＜0，得(x - 1)(x + 4)＜0，解得 - 4＜x＜1.因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p且p⇏q，即m + 3≤ - 4或m≥1，解得m≤ - 7或m≥1.所以实数m的取值范围为( - ∞， - 7]∪[1， + ∞).

12. 设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件.(用“充分”“必要”或“充要”填空)

答案： 答案 充分 充要
解析 由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q⇒s⇒t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件.

13. (2023·全国甲卷)“sin²α + sin²β = 1”是“sinα + cosβ = 0”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件

答案： B [当sin²α + sin²β = 1时，例如α = $\frac{\pi}{2}$，β = 0，但sinα + cosβ≠0，即sin²α + sin²β = 1推不出sinα + cosβ = 0；当sinα + cosβ = 0时，sin²α + sin²β = ( - cosβ)² + sin²β = 1，即sinα + cosβ = 0能推出sin²α + sin²β = 1.综上可知，“sin²α + sin²β = 1”是“sinα + cosβ = 0”的必要条件但不是充分条件.故选B.]

14. (2023·天津高考)“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： B [解法一：若a² = b²，则当a = - b≠0时，有a² + b² = 2a²，2ab = - 2a²，即a² + b²≠2ab，所以a² = b²⇏a² + b² = 2ab；若a² + b² = 2ab，则有a² + b² - 2ab = 0，即(a - b)² = 0，所以a = b，则有a² = b²，即a² + b² = 2ab⇒a² = b².所以“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的必要不充分条件.故选B.
解法二：因为a² = b²⇔a = - b或a = b，a² + b² = 2ab⇔a = b，所以本题可以转化为判断a = - b或a = b与a = b的关系，又“a = - b或a = b”是“a = b”的必要不充分条件，所以“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的必要不充分条件.故选B.]

15. (2023·北京高考)若xy≠0，则“x + y = 0”是“$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = - 2$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C [解法一：因为xy≠0，且$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$，所以x² + y² = - 2xy，即x² + y² + 2xy = 0，即(x + y)² = 0，所以x + y = 0.所以“x + y = 0”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的充要条件.故选C.
解法二：充分性：因为xy≠0，且x + y = 0，所以x = - y，所以$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{y}{-y}+\frac{-y}{y}=-1 - 1 = - 2$，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$，所以x² + y² = - 2xy，即x² + y² + 2xy = 0，即(x + y)² = 0，所以x + y = 0，所以必要性成立.所以“x + y = 0”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的充要条件.故选C.
解法三：充分性：因为xy≠0，且x + y = 0，所以$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x² + y²}{xy}=\frac{x² + y² + 2xy - 2xy}{xy}=\frac{(x + y)² - 2xy}{xy}=\frac{-2xy}{xy}=-2$，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$，所以$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x² + y²}{xy}=\frac{x² + y² + 2xy - 2xy}{xy}=\frac{(x + y)² - 2xy}{xy}=\frac{(x + y)²}{xy}-2=-2$，所以$\frac{(x + y)²}{xy}=0$，所以(x + y)² = 0，所以x + y = 0，所以必要性成立.所以“x + y = 0”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的充要条件.故选C.]

16. (2022·天津高考)“x为整数”是“2x + 1为整数”的________条件（ ）
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要

答案： A [由题意知，若x为整数，则2x + 1为整数，故充分性成立；当x = $\frac{1}{2}$时，2x + 1为整数，但x不为整数，故必要性不成立，所以“x为整数”是“2x + 1为整数”的充分不必要条件.故选A.]

17. (2021·全国甲卷)等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n.设甲：q＞0，乙：{S_n}是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： B [当a₁ = - 1，q = 2时，{Sₙ}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{Sₙ}是递增数列时，有Sₙ₊₁ - Sₙ = aₙ₊₁ = a₁qⁿ＞0，若a₁＞0，则qⁿ＞0(n∈N*)，即q＞0；若a₁＜0，则qⁿ＜0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件.故选B.]