《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

8. 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x + 2)=-f(x)$，且在 $[0,2]$ 上单调递减，则下列结论正确的是 （ ）
A. $0\lt f(1)\lt f(3)$
B. $f(3)\lt0\lt f(1)$
C. $f(1)\lt0\lt f(3)$
D. $f(3)\lt f(1)\lt0$

答案： C [由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f
(0)=0. 由f(x + 2)= - f(x)，得f(x + 4)= - f(x + 2)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f
(3)=f( - 1). 又f(x)在[0，2)上单调递减，所以函数f(x)在( - 2，2)上单调递减，所以f( - 1)＞f
(0)＞f
(1)，即f
(1)＜0＜f
(3).]

9.（多选）已知 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且 $f(x + 2)$ 是奇函数，则 （ ）
A. $f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称
B. $f(x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称
C. $f(x)$ 的周期为 4
D. $f(x)$ 的周期为 8

答案： AD [
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，f( - x)=f(x)，又f(x + 2)是奇函数，
∴f( - x + 2)= - f(x + 2)，
∴函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，f(x - 2)+f(x + 2)=0，
∴f(x + 2)= - f(x - 2)，
∴f(x + 8)= - f(x + 4)=f(x)，
∴f(x)为周期函数且周期为8.]

10. 已知函数 $f(x)=ax^{3}-2bx^{2}+x$ 是定义在 $[2a + 1,3 - a]$ 上的奇函数，则 $a + b=$ ________。

答案： 答案 - 4
解析 依题意，函数f(x)=ax³ - 2bx² + x是定义在[2a + 1，3 - a]上的奇函数，所以2a + 1 + 3 - a = 0，所以a = - 4，所以f(x)= - 4x³ - 2bx² + x，f( - x)=4x³ - 2bx² - x，因为f(x)+f( - x)= - 4bx² = 0恒成立，所以b = 0. 所以a + b = - 4.

11.（2023·新课标Ⅱ卷）若 $f(x)=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$ 为偶函数，则 $a = $ （ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$

答案： B [解法一：因为f(x)为偶函数，则f
(1)=f( - 1)，即(1 + a)ln$\frac{1}{3}$=( - 1 + a)ln 3，解得a = 0. 当a = 0时，f(x)=xln$\frac{2x - 1}{2x + 1}$，由(2x - 1)(2x + 1)＞0，解得x＞$\frac{1}{2}$或x＜ - $\frac{1}{2}$，则其定义域为$\{x|x＞\frac{1}{2}或x＜ - \frac{1}{2}\}$，关于原点对称. f( - x)=( - x)ln$\frac{2( - x) - 1}{2( - x) + 1}$=( - x)ln$\frac{2x + 1}{2x - 1}$=( - x)ln($\frac{2x - 1}{2x + 1}$)⁻¹=xln$\frac{2x - 1}{2x + 1}$=f(x)，故此时f(x)为偶函数. 故选B.
解法二：设g(x)=ln$\frac{2x - 1}{2x + 1}$，易知g(x)的定义域为( - ∞， - $\frac{1}{2}$)∪($\frac{1}{2}$，+∞)，且g( - x)=ln$\frac{ - 2x - 1}{ - 2x + 1}$=ln$\frac{2x + 1}{2x - 1}$= - ln$\frac{2x - 1}{2x + 1}$= - g(x)，所以g(x)为奇函数. 若f(x)=(x + a)·ln$\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则y = x + a也应为奇函数，所以a = 0. 故选B.]

12.（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)$，$f(1)=1$，则 $\sum_{k = 1}^{22}f(k)= $ （ ）
A. $-3$
B. $-2$
C. $0$
D. $1$

答案： A [因为f(x + y)+f(x - y)=f(x)f(y)，令x = 1，y = 0可得2f
(1)=f
(1)f
(0)，所以f
(0)=2. 令x = 0可得f(y)+f( - y)=2f(y)，即f(y)=f( - y)，所以函数f(x)为偶函数. 令y = 1得f(x + 1)+f(x - 1)=f(x)f
(1)=f(x)，即有f(x + 2)+f(x)=f(x + 1)，从而可知f(x + 2)= - f(x - 1)，f(x - 1)= - f(x - 4)，故f(x + 2)=f(x - 4)，即f(x)=f(x + 6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f
(2)=f
(1) - f
(0)=1 - 2 = - 1，f
(3)=f
(2) - f
(1)= - 1 - 1 = - 2，f
(4)=f( - 2)=f
(2)= - 1，f
(5)=f( - 1)=f
(1)=1，f
(6)=f
(0)=2，所以f
(1)+f
(2)+…+f
(6)=0. 由于22除以6余4，所以$\sum_{k = 1}^{22}f(k)$=f
(1)+f
(2)+f
(3)+f
(4)=1 - 1 - 2 - 1 = - 3. 故选A.]

13.（2021·全国乙卷）设函数 $f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，则下列函数中为奇函数的是 （ ）
A. $f(x - 1)-1$
B. $f(x - 1)+1$
C. $f(x + 1)-1$
D. $f(x + 1)+1$

答案： B [解法一：因为f(x)=$\frac{1 - x}{1 + x}$= - 1+$\frac{2}{x + 1}$，其图象关于点( - 1， - 1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x - 1)+1为奇函数. 故选B.
解法二：因为f(x)=$\frac{1 - x}{1 + x}$，所以f(x - 1)=$\frac{1-(x - 1)}{1+(x - 1)}$=$\frac{2 - x}{x}$，f(x + 1)=$\frac{1-(x + 1)}{1+(x + 1)}$=$\frac{ - x}{x + 2}$. 对于A，F(x)=f(x - 1) - 1=$\frac{2 - x}{x}$ - 1=$\frac{2 - 2x}{x}$，定义域关于原点对称，但不满足F(x)= - F( - x)；对于B，G(x)=f(x - 1)+1=$\frac{2 - x}{x}$+1=$\frac{2}{x}$，定义域关于原点对称，且满足G(x)= - G( - x)；对于C，f(x + 1) - 1=$\frac{ - x}{x + 2}$ - 1=$\frac{ - 2x - 2}{x + 2}$，定义域不关于原点对称；对于D，f(x + 1)+1=$\frac{ - x}{x + 2}$+1=$\frac{2}{x + 2}$，定义域不关于原点对称. 故选B.]

14.（2021·全国甲卷）设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(x + 1)$ 为奇函数，$f(x + 2)$ 为偶函数，当 $x\in[1,2]$ 时，$f(x)=ax^{2}+b$。若 $f(0)+f(3)=6$，则 $f(\frac{9}{2})= $ （ ）
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$

答案： D [因为f(x + 1)为奇函数，所以f( - x + 1)= - f(x + 1)，所以f
(1)=0，即a + b = 0，所以b = - a，所以f
(0)=f( - 1 + 1)= - f(1 + 1)= - f
(2)= - 4a - b = - 3a，又f(x + 2)为偶函数，所以f(x + 2)=f( - x + 2)，所以f
(3)=f(1 + 2)=f( - 1 + 2)=f
(1)=0，由f
(0)+f
(3)=6，得a = - 2. 所以f($\frac{9}{2}$)=f(2+$\frac{5}{2}$)=f(2 - $\frac{5}{2}$)=f( - $\frac{1}{2}$)=f( - $\frac{3}{2}$+1)= - f($\frac{3}{2}$+1)= - f($\frac{1}{2}$+2)= - f( - $\frac{1}{2}$+2)= - f($\frac{3}{2}$)= - $\frac{9}{4}$a - b = - $\frac{5}{4}$a=$\frac{5}{2}$. 故选D.]

15.（多选）（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则 （ ）
A. $f(0)=0$
B. $f(1)=0$
C. $f(x)$ 是偶函数
D. $x = 0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

答案： ABC [因为f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，对于A，令x = y = 0，f
(0)=0 + 0 = 0，故A正确；对于B，令x = y = 1，f
(1)=f
(1)+f
(1)，则f
(1)=0，故B正确；对于C，令x = y = - 1，f
(1)=f( - 1)+f( - 1)=2f( - 1)，则f( - 1)=0，令y = - 1，f( - x)=f(x)+x²f( - 1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误. 故选ABC.]

16.（2024·安徽高三摸底联考）已知函数 $f(x)=e^{-x}-e^{x}+\frac{1}{x}+3$，$x\in[-2023,2023]$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $M + m = $ （ ）
A. $6$
B. $3$
C. $0$
D. $-3$

答案： A [令g(x)=f(x) - 3=e⁻ˣ - eˣ+$\frac{1}{x}$，则g( - x)=eˣ - e⁻ˣ - $\frac{1}{x}$= - g(x)，所以g(x)是定义在[ - 2023，2023]上的奇函数，因此g(x)ₘᵢₙ+g(x)ₘₐₓ=0. 又f(x)的最大值为M，最小值为m，所以g(x)的最大值为M - 3，最小值为m - 3，所以(M - 3)+(m - 3)=0，则M + m = 6. 故选A.]