《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{aₙ}的公差为d，且d＞1.令bₙ=$\frac{n²+n}{aₙ}$，记Sₙ，Tₙ分别为数列{aₙ}，{bₙ}的前n项和.
(1)若3a₂=3a₁+a₃，S₃+T₃=21，求{aₙ}的通项公式；
(2)若{bₙ}为等差数列，且S₉₉－T₉₉=99，求d.

答案： 解　
(1)
∵3a₂ = 3a₁ + a₃，
∴3d = a₁ + 2d，解得a₁ = d，
∴S₃ = 3a₂ = 3(a₁ + d) = 6d，
又T₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 2/d + 6/2d + 12/3d = 9/d，
∴S₃ + T₃ = 6d + 9/d = 21，即2d² - 7d + 3 = 0，
解得d = 3或d = 1/2(舍去)，
∴aₙ = a₁ + (n - 1)d = 3n.
(2)
∵{bₙ}为等差数列，
∴2b₂ = b₁ + b₃，即12/a₂ = 2/a₁ + 12/a₃，
∴6(1/a₂ - 1/a₃) = 6d/(a₂a₃) = 6d/((a₁ + d)(a₁ + 2d)) = 1/a₁，
即a₁² - 3a₁d + 2d² = 0，解得a₁ = d或a₁ = 2d，
∵d ＞ 1，
∴aₙ ＞ 0，
又S₉₉ - T₉₉ = 99，
由等差数列的性质知，99a₅₀ - 99b₅₀ = 99，即a₅₀ - b₅₀ = 1，
∴a₅₀ - 2550/a₅₀ = 1，即a₅₀² - a₅₀ - 2550 = 0，
解得a₅₀ = 51或a₅₀ = -50(舍去)。
当a₁ = 2d时，a₅₀ = a₁ + 49d = 51d = 51，
解得d = 1，与d ＞ 1矛盾，无解；
当a₁ = d时，a₅₀ = a₁ + 49d = 50d = 51，解得d = 51/50.
综上，d = 51/50.

2.(2023·新课标Ⅱ卷){aₙ}为等差数列，bₙ=$\begin{cases}{a_n-6,n为奇数}\\{2a_n，n为偶数}\end{cases}$
记Sₙ，Tₙ分别为数列{aₙ}，{bₙ}的前n项和，S₄=32，T₃=16.
(1)求{aₙ}的通项公式；
(2)证明：当n＞5时，Tₙ＞Sₙ.

答案： 解　
(1)设等差数列{aₙ}的公差为d，而bₙ = {aₙ - 6, n为奇数; 2aₙ, n为偶数}，
则b₁ = a₁ - 6，b₂ = 2a₂ = 2a₁ + 2d，b₃ = a₃ - 6 = a₁ + 2d - 6，
于是{S₄ = 4a₁ + 6d = 32, T₃ = 4a₁ + 4d - 12 = 16}，解得{a₁ = 5, d = 2}，
所以aₙ = a₁ + (n - 1)d = 2n + 3，
所以{aₙ}的通项公式是aₙ = 2n + 3.
(2)证法一：由
(1)知，
Sₙ = n(5 + 2n + 3)/2 = n² + 4n，bₙ = {2n - 3, n为奇数; 4n + 6, n为偶数}，
当n为偶数时，bₙ₋₁ + bₙ = 2(n - 1) - 3 + 4n + 6 = 6n + 1，
Tₙ = (13 + (6n + 1))·n/2÷2 = 3/2n² + 7/2n，
当n ＞ 5时，Tₙ - Sₙ = (3/2n² + 7/2n) - (n² + 4n) = 1/2n(n - 1) ＞ 0，因此Tₙ ＞ Sₙ；
当n为奇数时，Tₙ = Tₙ₊₁ - bₙ₊₁ = 3/2(n + 1)² + 7/2(n + 1) - [4(n + 1) + 6] = 3/2n² + 5/2n - 5，
当n ＞ 5时，Tₙ - Sₙ = (3/2n² + 5/2n - 5) - (n² + 4n) = 1/2(n + 2)(n - 5) ＞ 0，因此Tₙ ＞ Sₙ.
所以当n ＞ 5时，Tₙ ＞ Sₙ.
证法二：由
(1)知，Sₙ = n(5 + 2n + 3)/2 = n² + 4n，
bₙ = {2n - 3, n为奇数; 4n + 6, n为偶数}，
当n为偶数时，Tₙ = (b₁ + b₃ + … + bₙ₋₁) + (b₂ + b₄ + … + bₙ) = (-1 + 2(n - 1) - 3)·n/2÷2 + (14 + 4n + 6)·n/2÷2 = 3/2n² + 7/2n，
当n ＞ 5时，Tₙ - Sₙ = (3/2n² + 7/2n) - (n² + 4n) = 1/2n(n - 1) ＞ 0，因此Tₙ ＞ Sₙ；
当n为奇数时，若n≥3，则
Tₙ = (b₁ + b₃ + … + bₙ) + (b₂ + b₄ + … + bₙ₋₁) = (-1 + 2n - 3)·(n + 1)/2÷2 + (14 + 4(n - 1) + 6)·(n - 1)/2÷2 = 3/2n² + 5/2n - 5，显然T₁ = b₁ = -1满足上式，因此当n为奇数时，Tₙ = 3/2n² + 5/2n - 5，
当n ＞ 5时，Tₙ - Sₙ = (3/2n² + 5/2n - 5) - (n² + 4n) = 1/2(n + 2)(n - 5) ＞ 0，因此Tₙ ＞ Sₙ.
所以当n ＞ 5时，Tₙ ＞ Sₙ.