《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

18.(2023·湖北部分州市期末联合调研)(本小题满分17分)在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c$,且满足$\sin^{2}B+\sin^{2}C-\sin B\sin C=\sin^{2}A$.
(1)求角$A$；
(2)如图，若$b = c$,点$D$是$\triangle ABC$外一点，$DA = 3$,$DC=\sqrt{3}$,设$\angle ADC=\theta(0 ＜ \theta ＜ \pi)$,求平面四边形$ABCD$面积的最大值及相应的$\theta$值.

答案： 18.解
(1)在$\triangle ABC$中,$\sin^{2}B+\sin^{2}C-\sin B\sin C=\sin^{2}A$,由正弦定理知,$b^{2}+c^{2}-bc=a^{2}$.由余弦定理知,$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$,又$A\in(0,\pi)$,$\therefore A=\frac{\pi}{3}$.
(2)由
(1)以及$b = c$,得$\triangle ABC$是等边三角形.由于$\angle ADC=\theta(0＜\theta＜\pi)$,$DA = 3$,$DC=\sqrt{3}$,则$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times3\sin\theta=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sin\theta$.由余弦定理可得$AC^{2}=12 - 6\sqrt{3}\cos\theta$,则$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(12 - 6\sqrt{3}\cos\theta)=3\sqrt{3}-\frac{9}{2}\cos\theta$.故四边形$ABCD$的面积$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\sin\theta-\frac{9}{2}\cos\theta+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\sin(\theta-\frac{\pi}{3})+3\sqrt{3}$.$\because0＜\theta＜\pi$,$\therefore-\frac{\pi}{3}＜\theta-\frac{\pi}{3}＜\frac{2\pi}{3}$,$\therefore$当$\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$,即$\theta=\frac{5\pi}{6}$时,$S$取得最大值$6\sqrt{3}$.故平面四边形$ABCD$面积的最大值为$6\sqrt{3}$,此时$\theta=\frac{5\pi}{6}$.