《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.(2024·四川成都田家炳中学高三月考)函数$y = \cos ^{2}x$是 ( )
A.周期为$\frac{\pi}{2}$的奇函数
B.周期为$\frac{\pi}{2}$的偶函数
C.周期为$\pi$的奇函数
D.周期为$\pi$的偶函数

答案： 1.D [利用二倍角公式可得$y = \cos ^{2}x=\frac{1 + \cos 2x}{2}$,易知其定义域为$\mathbf{R}$. 显然$\frac{1 + \cos (-2x)}{2}=\frac{1 + \cos 2x}{2}$,所以$y = \cos ^{2}x$是偶函数,最小正周期为$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$,因此函数$y = \cos ^{2}x$是周期为$\pi$的偶函数. 故选 D.]

2.(2024·湖南衡阳祁东一中高三月考)已知一扇形的圆心角为40°,半径为9,则该扇形的面积为 ( )
A.9π
B.12π
C.18π
D.36π

答案： 2.A [因为$40^{\circ}=40\times\frac{\pi}{180}\text{ rad}$,所以该扇形的面积为$S=\frac{1}{2}\times(40\times\frac{\pi}{180})\times9^{2}=9\pi$. 故选 A.]

3.已知$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=4,\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$,则$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\cos\alpha=$ ( )
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： 3.B [$\because\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=4$,$\therefore\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$. 又$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$,$\therefore\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\cos\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha$.又$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=1 + 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{2}$,$\because\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$,$\therefore\sin\alpha+\cos\alpha＜0$,$\therefore\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{\sqrt{6}}{2}$. 故选 B.]

4.已知函数$f(x)=2\cos^{2}(\omega x-\frac{\pi}{12})(\omega＞0)$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{4}$对称,则$\omega$的最小值为 ( )
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： 4.A [因为$f(x)=2\cos^{2}(\omega x-\frac{\pi}{12})$,所以$f(x)=1+\cos(2\omega x-\frac{\pi}{6})$,又因为$f(x)=2\cos^{2}(\omega x-\frac{\pi}{12})$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{4}$对称,所以$2\omega\times\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$,即$\omega=2k+\frac{1}{3}(k\in\mathbf{Z})$,因为$\omega＞0$,所以$\omega$的最小值为$\frac{1}{3}$. 故选 A.]

5.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为：纵77 cm，横53 cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm)，设该游客离墙距离为x cm，视角为$\theta$.为使观赏视角$\theta$最大，x应为 ( )

A.77
B.80
C.100
D.77$\sqrt{2}$

答案： 5.D [过$C$作$CD\perp AB$交$AB$延长线于$D$,设$\alpha=\angle ACD$,$\beta=\angle BCD$,则$\theta=\alpha-\beta$,则$BD = 237-(175 - 15)=77\text{ cm}$,$AD = 77+77 = 154\text{ cm}$,$\therefore\tan\alpha=\frac{AD}{CD}=\frac{154}{x}$,$\tan\beta=\frac{BD}{CD}=\frac{77}{x}$,$\therefore\tan\theta=\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac{154}{x}-\frac{77}{x}}{1+\frac{154}{x}\cdot\frac{77}{x}}=\frac{77}{x+\frac{11858}{x}}$,$\therefore$当且仅当$x=\frac{11858}{x}$,即$x = 77\sqrt{2}$时,$\tan\theta$有最大值,此时$\theta$也最大. 故选 D.]

6.(2023·河南省上蔡第一高级中学高三月考)已知$x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$,$a = (\frac{1}{2})^{\sin(-x)}$,$b = 2^{\cos(-x)}$,$c = 2^{\tan x}$,则 ( )
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞a＞b$

答案： 6.D [由题意得$a = (\frac{1}{2})^{\sin(-x)}=(2^{-1})^{-\sin x}=2^{\sin x}$,$b = 2^{\cos(-x)}=2^{\cos x}$,因为当$x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$时,$\tan x＞\sin x＞\cos x$,且$y = 2^{x}$是增函数,所以$c＞a＞b$. 故选 D.]