《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

20.（2023·辽宁沈阳东北育才学校高三月考）函数$f(x)=2\sin x-\sin 2x$是（ ）
A. 奇函数，且最大值为2
B. 偶函数，且最大值为2
C. 奇函数，且最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D. 偶函数，且最大值为3

答案： C [f(x)=2sinx - sin2x的定义域为R，且f( - x)=2sin( - x) - sin( - 2x)= - 2sinx + sin2x = - f(x)，故f(x)=2sinx - sin2x为奇函数，排除B，D；由于f(x + 2$\pi$)=2sin(x + 2$\pi$) - sin(2x + 4$\pi$)=2sinx - sin2x = f(x)，所以2$\pi$是f(x)的一个周期，要求f(x)=2sinx - sin2x的最大值，只需考虑x∈[0,2$\pi$]的情况，f′(x)=2cosx - 2cos2x = 2cosx - 4cos²x + 2 = 2(2cosx + 1)(1 - cosx)，当x∈$[0,\frac{2\pi}{3}]$时，f′(x)≥0，故f(x)在$[0,\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，当x∈$(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3})$时，f′(x)＜0，故f(x)在$(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3})$上单调递减，当x∈$(\frac{4\pi}{3},2\pi]$时，f′(x)≥0，故f(x)在$(\frac{4\pi}{3},2\pi]$上单调递增，故f(x)=2sinx - sin2x在x = $\frac{2\pi}{3}$处取得极大值，f$(\frac{2\pi}{3})$=2sin$\frac{2\pi}{3}$ - sin$\frac{4\pi}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又f(2$\pi$)=2sin2$\pi$ - sin4$\pi$=0，故f(x)=2sinx - sin2x的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$. 故选C.]

21.（多选）（2024·江苏苏州新草桥中学高三月考）设函数$f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，则下列结论正确的是（ ）
A. $y = f(x)$的一个周期为$2\pi$
B. $y = f(x)$的图象关于直线$x = \frac{8\pi}{3}$对称
C. $y = f(x+\pi)$的一个零点为$\frac{\pi}{6}$
D. $y = f(x)$在$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$单调递减

答案： ABC [因为函数f(x)=cos$(x+\frac{\pi}{3})$，所以它的一个周期为2$\pi$，故A正确；令x = $\frac{8\pi}{3}$，求得f(x)= - 1为最小值，故f(x)的图象关于直线x = $\frac{8\pi}{3}$对称，故B正确；对于y = f(x + $\pi$)=cos$(x+\pi+\frac{\pi}{3})$= - cos$(x+\frac{\pi}{3})$，令x = $\frac{\pi}{6}$，可得f(x + $\pi$)=0，故y = f(x + $\pi$)的一个零点为$\frac{\pi}{6}$，故C正确；当x∈$(\frac{\pi}{2},\pi)$时，x + $\frac{\pi}{3}$∈$(\frac{5\pi}{6},\frac{4\pi}{3})$，函数y = cosx在$(\frac{5\pi}{6},\pi)$上单调递减，在$(\pi,\frac{4\pi}{3})$上单调递增，所以函数f(x)在$(\frac{\pi}{2},\pi)$上不单调，故D错误. 故选ABC.]

22.（2023·珠海模拟）若方程$\cos^{2}x-\sin x + a = 0$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$内有解，则$a$的取值范围是 。

答案：
答案 ( - 1,1]
解析 方程cos²x - sinx + a = 0，即sin²x + sinx - a - 1 = 0. 由于x∈$(0,\frac{\pi}{2}]$，所以0 ＜ sinx≤1. 设sinx = t∈(0,1]，则问题转化为方程t² + t - a - 1 = 0在(0,1]上有解. 设y = f(t)=t² + t - 1 - a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t = - $\frac{1}{2}$，在区间(0,1]的左侧，图象如图所示.

因此f(t)=0在(0,1]上有解，当且仅当$\begin{cases}f(0)＜0\\f(1)\geq0\end{cases}$，即$\begin{cases}-1 - a＜0\\1 - a\geq0\end{cases}$，解得 - 1 ＜ a≤1，故a的取值范围是( - 1,1].

1.（2021·浙江高考）设函数$f(x)=\sin x+\cos x(x\in\mathbf{R})$。
（1）求函数$y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}$的最小正周期；
（2）求函数$y = f(x)f\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值。

答案： 解
(1)因为f(x)=sinx + cosx，所以f$(x+\frac{\pi}{2})$=sin$(x+\frac{\pi}{2})$+cos$(x+\frac{\pi}{2})$=cosx - sinx，所以y = $[f(x+\frac{\pi}{2})]^2$=(cosx - sinx)² = 1 - sin2x. 所以函数y = $[f(x+\frac{\pi}{2})]^2$的最小正周期T = $\frac{2\pi}{2}=\pi$.
(2)因为f$(x-\frac{\pi}{4})$=sin$(x-\frac{\pi}{4})$+cos$(x-\frac{\pi}{4})$=$\sqrt{2}$sinx，所以y = f(x)f$(x-\frac{\pi}{4})$=$\sqrt{2}$sinx(sinx + cosx)=$\sqrt{2}$(sinxcosx + sin²x)=$\sqrt{2}$($\frac{1}{2}$sin2x - $\frac{1}{2}$cos2x + $\frac{1}{2}$)=sin$(2x-\frac{\pi}{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}$. 当x∈$[0,\frac{\pi}{2}]$时，2x - $\frac{\pi}{4}$∈$[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$，所以当2x - $\frac{\pi}{4}$=$\frac{\pi}{2}$，即x = $\frac{3\pi}{8}$时，函数y = f(x)f$(x-\frac{\pi}{4})$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上取得最大值，且最大值为1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$.