《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

8.设Sₙ是等差数列{aₙ}的前n项和，a₂=－7，S₅=2a₁，当|Sₙ|取得最小值时，n=（ ）
A.1
B.4
C.7
D.8

答案： 8.D　[设数列{aₙ}的公差为d，由已知得{a₁ + d = -7, 2a₁ = 5a₁ + 5×4/2d}，解得{a₁ = -10, d = 3}，aₙ = 3n - 13，Sₙ = -10n + n(n - 1)/2×3 = (3n² - 23n)/2，由于a₄ = -1 ＜ 0，a₅ = 2 ＞ 0，当n≤4时，aₙ ＜ 0，当n≥5时，aₙ ＞ 0，所以当n≤4时，Sₙ递减，当n≥5时，Sₙ递增，其中S₁ = a₁ = -10，由Sₙ的表达式得S₇ = -7，S₈ = 4，|S₇| ＞ |S₈|，所以当n = 8时，|Sₙ|最小。故选D.]

9.(多选)下面是关于公差d＞0的等差数列{aₙ}的四个命题，其中是真命题的是（ ）
A.数列{aₙ}是递增数列 B.数列{naₙ}是递增数列
C.数列{$\frac{aₙ}{n}$}是递增数列 D.数列{aₙ+3nd}是递增数列

答案： 9.AD　[
∵aₙ = a₁ + (n - 1)d，d ＞ 0，
∴aₙ₊₁ - aₙ = d ＞ 0，A正确；
∵naₙ = na₁ + n(n - 1)d，
∴(n + 1)aₙ₊₁ - naₙ = a₁ + 2nd，与0的大小关系和a₁的取值情况有关，故数列{naₙ}不一定是递增数列，B不正确；
∵aₙ/n = a₁/n + (n - 1)/n d，
∴aₙ₊₁/(n + 1) - aₙ/n = (-a₁ + d)/(n(n + 1))，当d - a₁ ＜ 0，即d ＜ a₁时，数列{aₙ/n}是递减数列，C不正确；设bₙ = aₙ + 3nd，则bₙ₊₁ - bₙ = aₙ₊₁ - aₙ + 3d = 4d ＞ 0，
∴数列{aₙ + 3nd}是递增数列，D正确。故选AD.]

10.(多选)设数列{aₙ}是以d为公差的等差数列，Sₙ是其前n项和，a₁＞0，且S₆=S₉，则下列结论正确的是（ ）
A.d＜0 B.a₈=0
C.S₅＞S₆ D.S₇或S₈为Sₙ的最大值

答案： 10.ABD　[根据题意可得6a₁ + 6×5/2d = 9a₁ + 9×8/2d，即a₁ + 7d = a₈ = 0。因为a₁ ＞ 0，a₈ = 0，所以d ＜ 0，所以数列{aₙ}是递减数列，故A，B正确；对于C，因为a₈ = 0，d ＜ 0，所以a₆ ＞ 0，所以S₅ ＜ S₆，故C不正确；对于D，因为a₈ = 0，所以S₇ = S₈，又{aₙ}为递减数列，所以S₇或S₈为Sₙ的最大值，故D正确。故选ABD.]

11.等差数列{aₙ}与{bₙ}的前n项和分别为Sₙ和Tₙ，且$\frac{Sₙ}{Tₙ}$=$\frac{3n+1}{7n+3}$，则$\frac{a₉}{b₉}$=________.

答案： 答案　26/61
解析　等差数列{aₙ}与{bₙ}的前n项和分别为Sₙ和Tₙ，则S₂ₙ₋₁ = (a₁ + a₂ₙ₋₁)(2n - 1)/2 = (2aₙ)(2n - 1)/2 = (2n - 1)aₙ。同理，T₂ₙ₋₁ = (2n - 1)bₙ。所以S₂ₙ₋₁/T₂ₙ₋₁ = aₙ/bₙ，a₉/b₉ = S₁₇/T₁₇ = (3×17 + 1)/(7×17 + 3) = 52/122 = 26/61.

12.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，已知a₁=9，a₂∈Z，且Sₙ≤S₅(n∈N*)，则|a₁|+|a₂|+…+|aₙ|=________.

答案： 答案　{10n - n², n≤5; n² - 10n + 50, n ＞ 5}
解析
∵等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₁ = 9，a₂∈Z，且Sₙ≤S₅，
∴a₅ = 9 + 4d≥0，a₆ = 9 + 5d≤0，
∵a₂∈Z，
∴d = -2，
∴Sₙ = 9n + n(n - 1)/2×(-2) = 10n - n²，
∴当n≤5时，|a₁| + |a₂| + … + |aₙ| = 10n - n²；当n ＞ 5时，|a₁| + |a₂| + … + |aₙ| = 2(a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅) - (10n - n²) = 2×(10×5 - 5²) + n² - 10n = n² - 10n + 50，
∴|a₁| + |a₂| + … + |aₙ| = {10n - n², n≤5; n² - 10n + 50, n ＞ 5}.

13.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sₙ为数列{aₙ}的前n项和，设甲：{aₙ}为等差数列；乙：{$\frac{Sₙ}{n}$}为等差数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 13.C　[解法一：甲：{aₙ}为等差数列，设其首项为a₁，公差为d，则Sₙ = na₁ + n(n - 1)/2d，Sₙ/n = a₁ + (n - 1)/2d = d/2n + a₁ - d/2，Sₙ₊₁/(n + 1) - Sₙ/n = d/2，因此{Sₙ/n}为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{Sₙ/n}为等差数列，即Sₙ₊₁/(n + 1) - Sₙ/n = (nSₙ₊₁ - (n + 1)Sₙ)/(n(n + 1)) = (naₙ₊₁ - Sₙ)/(n(n + 1))为常数，设为t，即(naₙ₊₁ - Sₙ)/(n(n + 1)) = t，则Sₙ = naₙ₊₁ - tn(n + 1)，有Sₙ₋₁ = (n - 1)aₙ - tn(n - 1)，n≥2，两式相减，得aₙ = naₙ₊₁ - (n - 1)aₙ - 2tn，即aₙ₊₁ - aₙ = 2t，对n = 1也成立，因此{aₙ}为等差数列，则甲是乙的必要条件。所以甲是乙的充要条件。故选C.
解法二：甲：{aₙ}为等差数列，设数列{aₙ}的首项为a₁，公差为d，即Sₙ = na₁ + n(n - 1)/2d，则Sₙ/n = a₁ + (n - 1)/2d = d/2n + a₁ - d/2，因此{Sₙ/n}为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{Sₙ/n}为等差数列，即Sₙ₊₁/(n + 1) - Sₙ/n = d'，Sₙ/n = S₁ + (n - 1)d'，即Sₙ = nS₁ + n(n - 1)d'，Sₙ₋₁ = (n - 1)S₁ + (n - 1)(n - 2)d'，当n≥2时，以上两式相减，得Sₙ - Sₙ₋₁ = S₁ + 2(n - 1)d'，于是aₙ = a₁ + 2(n - 1)d'，当n = 1时，上式也成立，又aₙ₊₁ - aₙ = a₁ + 2nd' - [a₁ + 2(n - 1)d'] = 2d'，为常数，因此{aₙ}为等差数列，则甲是乙的必要条件。所以甲是乙的充要条件。故选C.]

14.(2023·全国乙卷)已知等差数列{aₙ}的公差为$\frac{2π}{3}$，集合S={cos aₙ|n∈N*}，若S={a,b}，则ab=（ ）
A.－1
B.－$\frac{1}{2}$
C.0
D.$\frac{1}{2}$

答案： 14.B

15.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中DD₁，CC₁，BB₁，AA₁是举，OD₁，DC₁，CB₁，BA₁是相等的步，相邻桁的举步之比分别为$\frac{DD₁}{OD₁}$=0.5，$\frac{CC₁}{DC₁}$=k₁，$\frac{BB₁}{CB₁}$=k₂，$\frac{AA₁}{BA₁}$=k₃.已知k₁，k₂，k₃成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k₃=（ ）

A.0.75
B.0.8
C.0.85
D.0.9

答案： 15.D　[设OD₁ = DC₁ = CB₁ = BA₁ = 1，则DD₁ = 0.5，CC₁ = k₁，BB₁ = k₂，AA₁ = k₃，依题意，有k₃ - 0.2 = k₁，k₃ - 0.1 = k₂，且(DD₁ + CC₁ + BB₁ + AA₁)/(OD₁ + DC₁ + CB₁ + BA₁) = 0.725，所以(0.5 + 3k₃ - 0.3)/4 = 0.725，故k₃ = 0.9.故选D.]