《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. $4×5×6×\cdots×(n - 1)×n=$ （ ）
A. $A_{n}^{4}$
B. $A_{n}^{n - 1}$
C. $n! - 4!$
D. $A_{n}^{n - 3}$

答案： D　[原式可写成n×(n - 1)×…×6×5×4,故选D.]

2. 某校科技大楼电子阅览室在第8层，每层均有2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有 （ ）
A. $2^{9}$种
B. $2^{8}$种
C. $2^{7}$种
D. $8^{2}$种

答案： 2.C　[因为从一楼到二楼有2种走法,从二楼到三楼有2种走法,......,从一楼到八楼分7步进行，每步都有2种不同的走法，所以根据分步乘法计数原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有2⁷种.故选C.]

3. 甲、乙两人计划从$A$，$B$，$C$三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有 （ ）
A. 3种
B. 6种
C. 9种
D. 12种

答案： 3.B　[甲、乙各选两个景点有C₃²C₃² = 9种方法，其中,所选景点完全相同的有3种.所以满足条件要求的选法共有9 - 3 = 6种.故选B.]

4. 某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 （ ）
A. 12
B. 18
C. 21
D. 24

答案： 4.B　[可分两种情况:第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有C₃¹C₄¹ = 12种;第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有C₄² = 6种.根据分类加法计数原理知,至少1位女生入选的不同的选法的种数为12 + 6 = 18.故选B.]

5. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序$A$只能出现在第一或最后一步，程序$B$和$C$在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 （ ）
A. 34种
B. 48种
C. 96种
D. 144种

答案： 5.C　[程序A有C₂¹ = 2种排法,将程序B和C看作一个整体与除A外的元素排列有A₂²A₄⁴ = 48种排法,所以由分步乘法计数原理知，实验顺序的编排方法共有2×48 = 96种.]

6. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有 （ ）
A. 16种
B. 36种
C. 42种
D. 60种

答案： 6.D　[解法一(直接法):若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A₄³种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项，共C₃²A₄²种方法.由分类加法计数原理知,共有A₄³ + C₃²A₄² = 60种不同的投资方案.
　解法二(间接法):先任意安排3个项目,每个项目各有4种安排方法,共4³ = 64种，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求,共4种,所以不同的投资方案共有4³ - 4 = 64 - 4 = 60种.]

7. 若把英文单词“anyway”的字母顺序写错，则可能出现的错误写法的种数为 （ ）
A. 178
B. 179
C. 180
D. 181

答案： 7.B　[英文单词“anyway”中有2个“a”，2个“y”，1个“n”，1个“w”，这6个字母的排列顺序共有$\frac{A₆⁶}{A₂²A₂²}$ = 180种，则可能出现的错误写法的种数为180 - 1 = 179.故选B.]

8. 某研究室有2男6女共8名教研员，研究室东、西两区各有4张办公桌，则两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为 （ ）
A. $A_{4}^{1}A_{4}^{1}A_{6}^{6}$
B. $\frac{A_{8}^{8}}{2}$
C. $\frac{A_{8}^{8}}{3}$
D. $A_{8}^{8}-2A_{4}^{2}A_{6}^{6}$

答案： 8.D　[没有限制条件的坐法种数为A₈⁸，两名男教研员在同一区的不同坐法种数为2A₄²A₆⁶，所以两名男教研员不在同一区的不同坐法种数为A₈⁸ - 2A₄²A₆⁶.故选D.]