《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

17.(2023·河北保定第二中学模拟)已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$，且 $\forall x_{1},x_{2}\in\mathbf{R}$，当 $x_{1}\lt x_{2}$ 时，都有 $f(x_{1})-f(x_{2})\lt2(x_{1}-x_{2})$，则不等式 $f(\log_{2}x)+1\lt\log_{2}x^{2}$ 的解集为（ ）
A.(-\infty,2)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(2,+\infty)

答案： 17.B　[当$x_{1}\lt x_{2}$时，$f(x_{1})-2x_{1}\lt f(x_{2})-2x_{2}$，令$h(x)=f(x)-2x$，则$h(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，又$h(1)=f(1)-2=-1$，而$f(\log_{2}x)+1\lt\log_{2}x^{2}$等价于$f(\log_{2}x)-2\log_{2}x\lt - 1$，所以$h(\log_{2}x)\lt h(1)$，即$\log_{2}x\lt1$，可得$0\lt x\lt2$.故原不等式的解集为$(0,2)$.]

18.(多选)(2024·福建宁德高三第一次考试)已知函数 $f(x)=\begin{cases}-2x + 1,x\lt0\\-x^{2}+2x + 1,x\geq0\end{cases}$，则（ ）
A. $f(-1)=-2$
B.若 $f(a)=1$，则 $a = 0$ 或 $a = 2$
C.函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减
D.函数 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的值域为 $[1,3]$

答案：
18.BD　[函数$f(x)$的图象如图所示.$f(-1)=-2\times(-1)+1 = 3$，故A错误；当$a\lt0$时，由$f(a)=1$，得$-2a + 1 = 1$，解得$a = 0$，不符合题意；当$a\geqslant0$时，由$f(a)=1$，得$-a^{2}+2a + 1 = 1$，解得$a = 0$或$a = 2$，故B正确；由图可知，$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，故C错误；由图可知，当$x\in[-1,2]$时，$f(x)_{min}=\min\{f(0),f(2)\}=1$，$f(x)_{max}=\max\{f(-1),f(1)\}=3$，故$f(x)$在$[-1,2]$上的值域为$[1,3]$，故D正确.故选BD.]

19.(多选)(2023·河南洛阳高三开学考试)已知函数 $y = f(x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且对于 $y = f(x)(x\in\mathbf{R})$，当 $x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，且 $x_{1}\neq x_{2}$ 时，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}\lt0$ 恒成立。若 $f(2ax)\lt f(2x^{2}+1)$ 对任意的 $x\in\mathbf{R}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围可以是（ ）
A.(-\sqrt{2},1)
B.(-\frac{1}{2},1)
C.(0,\sqrt{2})
D.(\sqrt{2},2)

答案： 19.ABC　[因为函数$y = f(x - 1)$的图象关于直线$x = 1$对称，所以$f(x)$的图象关于$y$轴对称，即$f(x)$为偶函数.当$x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，且$x_{1}\neq x_{2}$时，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}\lt0$恒成立，即$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\gt0$恒成立，所以$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，若$f(2ax)\lt f(2x^{2}+1)$对任意的$x\in\mathbf{R}$恒成立，即$\vert2ax\vert\lt2x^{2}+1$恒成立，即$-2x^{2}-1\lt2ax\lt2x^{2}+1$恒成立，即$\begin{cases}2x^{2}-2ax + 1\gt0,\\2x^{2}+2ax + 1\gt0\end{cases}$恒成立，所以$4a^{2}-8\lt0$，解得$-\sqrt{2}\lt a\lt\sqrt{2}$.故选ABC.]

20.(多选)(2024·江苏南通海安高三上学期期初学业质量监测)已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x + y)=f(x)f(y)$，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(0)=1$
B. $f(x)\geq0$
C.若 $f(m + n)\gt1$，则 $f(m)+f(n)\gt2$
D.若对任意的实数 $m$，$f(2^{m})\gt1$，则 $f(x)$ 是单调增函数

答案： 20.BCD　[对于A，当$x = y = 0$时，$f(0)=[f(0)]^{2}$，所以$f(0)=0$或$f(0)=1$，故A错误；对于B，取$x = y=\frac{t}{2}$，则$f(t)=[f(\frac{t}{2})]^{2}\geqslant0$，故B正确；对于C，因为$f(m + n)=f(m)f(n)\gt1$，又由B项分析知，$f(m)\geqslant0$，$f(n)\geqslant0$，所以$f(m)+f(n)\geqslant2\sqrt{f(m)f(n)}\gt2$，故C正确；对于D，由$f(2^{m})\gt1$可知，当$x\gt0$时，$f(x)\gt1$，此时$f(x)=f(0)f(x)$，故$f(0)=1$，所以对任意的$x\in\mathbf{R}$有$f(-x)f(x)=1$，故不存在$x$，使$f(x)=0$，所以对任意的$x\in\mathbf{R}$，$f(x)\gt0$，所以当$x_{1}\lt x_{2}$时，$\frac{f(x_{2})}{f(x_{1})}=f(x_{2}-x_{1})\gt1$，故$f(x_{2})\gt f(x_{1})$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，故D正确.故选BCD.]

21.(2023·湖南长沙一中高三开学考试)已知函数 $f(x)=1-\frac{1}{e^{x}+1}$，若不等式 $f(ax)+f(-x^{2}-\frac{x}{2})\gt1$ 对任意 $x\in(1,2)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案： 答案　$[\frac{5}{2},+\infty)$
解析　由题意知$y = e^{x}$单调递增，故$f(x)=1-\frac{1}{e^{x}+1}$在$\mathbf{R}$上单调递增，又$f(x)+f(-x)=1-\frac{1}{e^{x}+1}+1-\frac{1}{e^{-x}+1}=2-\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}=1$，故不等式$f(ax)+f(-x^{2}-\frac{x}{2})\gt1$对任意$x\in(1,2)$恒成立，即$f(ax)\gt1 - f(-x^{2}-\frac{x}{2})=f(x^{2}+\frac{x}{2})$对任意$x\in(1,2)$恒成立，所以$ax\gt x^{2}+\frac{x}{2}$，即$a\gt x+\frac{1}{2}$对任意$x\in(1,2)$恒成立，当$x\in(1,2)$时，$x+\frac{1}{2}\lt2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，故$a\geqslant\frac{5}{2}$，即实数$a$的取值范围是$[\frac{5}{2},+\infty)$.

22.(2024·江苏南通海安高三上学期期初学业质量监测)若函数 $f(x)=\begin{cases}1 - ax,x\gt a\\|x - 2a|-3,x\leq a\end{cases}$ 存在最值，则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案： 答案　$[-2,0]$
解析　①当$a\gt0$时，$2a\gt a$，$f(x)=\begin{cases}1-ax,x\gt a,\\2a - x - 3,x\leqslant a,\end{cases}$$f(x)$在$(-\infty,a]$上单调递减，在$(a,+\infty)$上单调递减，此时$f(x)$无最值；②当$a = 0$时，$f(x)=\begin{cases}1,x\gt0,\\-x - 3,x\leqslant0,\end{cases}$则易知$f(x)$有最小值$-3$；③当$a\lt0$时，$2a\lt a$，$f(x)=\begin{cases}1-ax,x\gt a,\\x - 2a - 3,2a\lt x\leqslant a,\\2a - x - 3,x\leqslant2a,\end{cases}$$f(x)$在$(-\infty,2a)$上单调递减，在$(2a,a)$上单调递增，在$(a,+\infty)$上单调递增，若$f(x)$有最小值，则$f(2a)\leqslant1 - a^{2}$，所以$-2\leqslant a\lt0$.综上所述，$-2\leqslant a\leqslant0$.故实数$a$的取值范围是$[-2,0]$.