《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

4.（2023·山东青岛高三模拟）已知函数$f(x)=\frac{x - a}{x^{2}-1}$.
(1)若曲线$y = f(x)$在点(2,f(2))处的切线斜率为 - 1，求a的值；
(2)若$f(x)$在(1,+∞)上有最大值，求实数a的取值范围.

答案： 解　
(1)函数f(x)=$\frac{x−a}{x²−1}$的定义域为(x|x≠±1),
　f(x)=$\frac{x²−1−2x(x−a)}{(x²−1)²}$=$\frac{−x²+2ax−1}{(x²−1)²}$,
　由已知可得f
(2)=$\frac{4a−5}{9}$=−1,解得a=−1.
(2)因为f(x)=−−(x²²+2−a1)x.²−1
　令g(x)=−x²+2ax−1(x＞11).
　①当a≤0时,对任意的x＞1,g(x)=一x²+2ax−1＜0恒成立,则f(x)＜0,
　此时函数f(x)在(1,十co)上单调递减,没有最大值;
　②当0＜a≤1时,g(x)=−x²+2ax−1在(1,+oo)上单调递减,则g(x)＜g
(1)≤0,
　则f(x)＜0,
　此时函数f(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值;
③当a＞1时,方程一x²+2ax−1=0的两根分别为x1=a−$\sqrt{a²−1}$,x2=a+　$\sqrt{a²−1}$
　由a＞1可知0＜x1id:30
content:4.（2023·山东青岛高三模拟）已知函数$f(x)=\frac{x - a}{x^{2}-1}$.
(1)若曲线$y = f(x)$在点(2,f
(2))处的切线斜率为 - 1，求a的值；
(2)若$f(x)$在(1,+∞)上有最大值，求实数a的取值范围.
answer:解　
(1)函数f(x)=$\frac{x−a}{x²−1}$的定义域为(x|x≠±1),
　f(x)=$\frac{x²−1−2x(x−a)}{(x²−1)²}$=$\frac{−x²+2ax−1}{(x²−1)²}$,
　由已知可得f
(2)=$\frac{4a−5}{9}$=−1,解得a=−1.
(2)因为f(x)=−−(x²²+2−a1)x.²−1
　令g(x)=−x²+2ax−1(x＞11).
　①当a≤0时,对任意的x＞1,g(x)=一x²+2ax−1＜0恒成立,则f(x)＜0,
　此时函数f(x)在(1,十co)上单调递减,没有最大值;
　②当0＜a≤1时,g(x)=−x²+2ax−1在(1,+oo)上单调递减,则g(x)＜g
(1)≤0,
　则f(x)＜0,
　此时函数f(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值;
③当a＞1时,方程一x²+2ax−1=0的两根分别为x1=a−$\sqrt{a²−1}$,x2=a+　$\sqrt{a²−1}$
　由a＞1可知0＜x1＜1＜a＜x,列表如下:
　所以函数∮(x)在x=a+　$\sqrt{a²−1}$处取得最大值
　综上所述，实数a的取值范围是(1,十oo).

5.（2024·广东高中毕业班第一次调研）已知$a\in R$，函数$f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}+ax$，$x\in[0,2\pi]$.
(1)记$f(x)$的导函数为$g(x)$，求函数$g(x)$在[0,2\pi]上的单调区间；
(2)若$f(x)$在(0,2\pi)上的极大值、极小值恰好各有一个，求a的取值范围.

答案： 解　
(1)由f(x)=$\frac{sin.r}{e'}$+ax,得f(x)=$\frac{cosx−sin.t}{e'}$.i　+a,
　即g(x)=$\frac{cos.r−sin.r}{e'}$+a.
　则g’(x)=$\frac{−2cos.x}{e"}$,令$\frac{−2cos.x}{e'}$=0,得x=$\frac{π}{2}$或x=$\frac{3π}{2}$
　由g(x)＜0,解得0＜x＜$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$＜x＜2π;
　由g(x)＞0,解得$\frac{π}{2}$＜.x＜$\frac{3π}{2}$.
　所以函数g((x)在[0,2π]上的单调递增区间为[$\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$],单调递减区间为[0,$\frac{π}{2}$1{$\frac{3π}{2}$,2π{.
(2)由
(1)知,g(x)在x=$\frac{π}{2}$处取得极小值,在x=$\frac{3π}{2}$处取得极大值.
　又g(
(0)=a+1,g($\frac{π}{2}$)=a−e−+,g($\frac{3π}{2}${=a+e−²,g(2π)=
　a+e−²n,
　则g
(0))＞g($\frac{3π}{2}$)＞g(2π)＞g($\frac{π}{2}$).
　若g($\frac{π}{2}$)≥0,则f(x)≥0,,故∮((x)在(0,2π)内单调递增,
　从而f(x)在(0,2π)内无极值，不符合题设，
　所以g($\frac{π}{2}$)＜0;
　若g(2π)＜0,当g($\frac{3π}{2}$)≤0时,f(x)在(0,,2π)内至多有一个极值点，不符合题设;
　当g($\frac{3π}{2}$)＞0时,f(x)在(0,2π)内有三个极值点,不符合题设.所以g(2π)≥0.
　所以{g($\frac{π}{2}$)=a−e−+＜0,解得−e−²π≤a＜e−+.
　　　g(2π)=a+e−²x≥0,
　此时g
(0)＞g($\frac{3π}{2}${＞g(2π)≥0＞g($\frac{π}{2}$),
　则存在唯−x1∈(o，,$\frac{π}{2}$),使得f(x1)=0,当x∈(0,x)时,f(x)＞0,f(x)单调递增;当x∈(x1,$\frac{π}{2}$)时,,f(x)＜0,,f(x)
　单调递减,则∮(x)在x=x1处取得极大值;
　存在唯−x2∈($\frac{π}{2}$,2π),使得f(x)=0,当x∈($\frac{π}{2}$,x2)时,f(x)＜0,∮(x)单调递减;当x∈(x2,2π)时,f(x)＞0,∮(x)单调递增,则f(x)在x=r处取得极小值.
　综上,a的取值范围是[−e−²,e−+).