《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

18.（2023·浙江杭州高三模拟）已知集合$A = \{4,5,6,7\}$，$B = \{5,6,7,8,9\}$，从集合$A$中取出1个元素，从集合$B$中取出3个元素，可以组成无重复数字且比5000大的自然数共 （ ）
A. 180个
B. 300个
C. 468个
D. 564个

答案： 18.B　[若从集合A中取出元素4,则4不能作千位上的数字,有C₃²C₃¹A₃³ = 180个满足题意的自然数;若不从集合A中取出元素4,则有A₅⁴ = 120个满足题意的自然数.所以满足题意的自然数共180 + 120 = 300个.故选B.]

19.（2023·河北唐山高三模拟）用四种颜色给正四棱锥$V - ABCD$的五个顶点涂色（四种颜色不需要用完），要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有 （ ）
A. 72种
B. 36种
C. 12种
D. 60种

答案：
19.A　[①当用2种颜色涂A,B,C,D时,则A,C涂色相同,B,D涂色相同,共有A₄² = 12种涂色方法,则涂V有2种涂色方法,
　　　　　　　　　　　　　　　　 即给正四棱锥V - ABCD的五个顶点涂色,共有12×2 = 24种涂色方法;②当用3种颜色涂A,B,C,D时,则A,C涂色相同,B,D涂色不相同,或A,C涂色不相同,B,D涂色相同,共有2A₄³ = 48种涂色方法,则涂V有1种涂色方法,即给正四棱锥V - ABCD的五个顶点涂色,共有48×1 = 48种涂色方法.由①②得,不同的涂法有24 + 48 = 72种.故选A.]

20.（2024·湖北武汉江汉区高三摸底考试）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲、乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为 （ ）
A. 40
B. 28
C. 20
D. 14

答案： 20.B　[若小王在甲路口,小李在乙路口,则剩余4人分到两个路口.①两个路口为1 + 3人分布,共有C₄¹C₃³A₂² = 8种方案;②两个路口为2 + 2人分布，共有$\frac{C₄²C₂²A₂²}{A₂²}$ = 6种方案，此时共有8 + 6 = 14种方案.同理，若小王在乙路口，小李在甲路口,也共有14种方案.所以不同的安排方案种数为14 + 14 = 28.故选B.]

21.（2023·浙江宁波高三模拟）将编号为1，2，3，4的4个小球放入5个不同的盒子中，每个盒子至多放2个球，且同一盒子内不出现连续编号的小球，则不同的放法种数是 （ ）
A. 300
B. 320
C. 360
D. 540

答案： 21.B　[第一类，4个小球放到4个盒子里，每个盒子放1个小球，有A₅⁴ = 120种放法;第二类,4个小球放到2个盒子里,每个盒子放2个小球,且小球编号只能为1,3或2,4,故有C₂¹A₂² = 20种放法;第三类,4个小球放到3个盒子里，其中一个盒子放2个小球,且小球编号为1,3或1,4或2,4,故有3C₅¹A₄² = 180种放法.故共有120 + 20 + 180 = 320种不同的放法.故选B.]

22.（2023·天津市耀华中学高三模拟）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导. 若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案种数为________（用数字作答）.

答案： 22.答案　36
　解析　当甲、乙两人组成一组时,不同的专家派遣方案种数为C₃²A₃³ = 18;当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时,不同的专家派遣方案种数为C₃¹A₃³ = 18.所以专家甲、乙需到同一个小组指导工作,则不同的专家派遣方案种数为18 + 18 = 36.

23.（2024·江西高三第一次联考）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新. 为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节. 若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有________种（用数字作答）.

答案： 23.答案　2280
　解析　由题意可得，若从江西的三位散文家中选出两人,则从另外五位中挑选三人,且来自江西的散文家的散文赏析课互不相邻,则有C₃²C₅³A₃³A₄² = 2160种情况;若从江西的三位散文家中选出三人,则从另外五位中挑选两人,且来自江西的散文家的散文赏析课互不相邻,则有C₃³C₅²A₂²A₃³ = 120种情况.故不同的排课方法共有2160 + 120 = 2280种.