《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

15. （2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________。

答案： 答案　$\frac{6}{35}$
解析　从正方体的8个顶点中任取4个,有$n = C_{8}^{4}=70$种取法,这4个点在同一个平面的有$m = 6 + 6 = 12$种取法,故所求概率$P=\frac{m}{n}=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$.

16. （2024·河北邢台四校质检联盟高三第一次月考）将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A. $\frac{7}{8}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 16.C　[甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A,B,C,D四个社区,共有$A_{4}^{4}$种情况，其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，剩余3人分配到3个社区，故共有$C_{3}^{1}A_{3}^{3}$种情况,故甲不被分到A社区的概率是$\frac{C_{3}^{1}A_{3}^{3}}{A_{4}^{4}}=\frac{3}{4}$.故选C.]

17. （2023·广东韶关综合测试）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且$P(A)=2 - a$，$P(B)=3a - 4$，则实数a的取值范围为（ ）
A. $(\frac{4}{3},\frac{3}{2}]$
B. $(1,\frac{3}{2}]$
C. $(\frac{4}{3},\frac{3}{2})$
D. $(\frac{1}{2},\frac{4}{3})$

答案： 17.A　[由题意，知$\begin{cases}0＜P(A)＜1\\ 0＜P(B)＜1\\ P(A)+P(B)\leqslant 1\end{cases}$，即$\begin{cases}0＜2 - a＜1\\ 0＜3a - 4＜1\\ 2a - 2\leqslant 1\end{cases}$，解得$\frac{4}{3}＜a\leqslant\frac{3}{2}$，所以实数a的取值范围为$(\frac{4}{3},\frac{3}{2}]$.故选A.]

18. （2024·河南高三上学期起点考试）新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的3门科目均不相同的概率为（ ）
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{6}$

答案： 18.A　[由题意,甲、乙随机选择自己的选考科目的情况有$C_{4}^{1}C_{4}^{1}C_{4}^{1}C_{4}^{1}=144$种,甲、乙选考的3门科目均不相同的情况有$A_{2}^{2}\cdot\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}\cdot A_{2}^{2}=12$种,所以所求的概率为$P=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}$.故选A.]

19. （2024·四川乐山金口河区延风中学高三月考）现将0～9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足a＜b＜c＜d的填法的概率为（ ）
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{2}{15}$
D. $\frac{2}{5}$

答案： 19.C　[第四行：$d = 9$，可选位置有4个，其余位置任取3个数字，共有$C_{4}^{1}A_{9}^{3}$种情况；第三行：取剩下6个数字中最大的数字为c，可选位置有3个，其余位置任取2个数字，共有$C_{3}^{1}A_{5}^{2}$种情况；第二行：取剩下3个数字中最大的数字为b，可选位置有2个，其余位置任取1个数字，共有$C_{2}^{1}A_{2}^{1}$种情况；第一行：最后1个数字为a，所有满足$a ＜ b ＜ c ＜ d$的填法共有$C_{4}^{1}A_{9}^{3}C_{3}^{1}A_{5}^{2}C_{2}^{1}A_{2}^{1}$种情况，位置不限的情况共有$A_{10}^{10}$种，故满足$a ＜ b ＜ c ＜ d$的填法的概率为$P=\frac{C_{4}^{1}A_{9}^{3}C_{3}^{1}A_{5}^{2}C_{2}^{1}A_{2}^{1}}{A_{10}^{10}}=\frac{2}{15}$.

20. （2024·广东湛江高三上学期摸底联考）某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3个歌舞类和3个语言类节目，所有节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为________。

答案： 答案　$\frac{3}{5}$
解析　节目出场顺序总数为$A_{6}^{6}$，两个语言类节目相邻的出场顺序的个数为$A_{3}^{3}A_{2}^{2}A_{4}^{4}$，所以恰有两个语言类节目相邻的概率为$P=\frac{A_{3}^{3}A_{2}^{2}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{3}{5}$.