《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

4.（2023·福建省厦门市第一次质量检测）已知函数$f(x)=\sin^{4}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos^{4}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$在区间$\left[t-\frac{\pi}{8},t+\frac{\pi}{8}\right](t\in\mathbf{R})$上的最大值为$M(t)$，最小值为$m(t)$，记$g(t)=M(t)-m(t)$。
（1）求$g\left(\frac{\pi}{4}\right)$的值；
（2）设$h(t)=g(t)-1$，试写出方程$h(t)=0$的一个解。

答案： 解
(1)f(x)=sin⁴$(x+\frac{\pi}{4})$ - cos⁴$(x+\frac{\pi}{4})$=sin²$(x+\frac{\pi}{4})$ - cos²$(x+\frac{\pi}{4})$= - cos$(2x+\frac{\pi}{2})$=sin2x. 当t = $\frac{\pi}{4}$时，x∈$[\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8}]$，此时2x∈$[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$，
∴M$(\frac{\pi}{4})$=sin$\frac{\pi}{2}$=1，m$(\frac{\pi}{4})$=sin$\frac{\pi}{4}$=sin$\frac{3\pi}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是g$(\frac{\pi}{4})$=1 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)由
(1)知，f(x)=sin2x，最小正周期T = $\pi$，当h(t)=g(t) - 1 = 0，即g(t)=1时，M(t)=1，m(t)=0或M(t)=0，m(t)= - 1显然满足题意，由于区间$[t-\frac{\pi}{8},t+\frac{\pi}{8}]$的长度为$\frac{\pi}{4}$，即$\frac{T}{4}$，只要满足2$(t-\frac{\pi}{8})=\frac{k\pi}{2}$(k∈Z)，即可满足M(t)=1，m(t)=0或M(t)=0，m(t)= - 1，此时t = $\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{8}$(k∈Z).(此题答案不唯一)