《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

21.（多选）（2023·山东青岛高三模拟）某公司通过统计分析发现，工人的工作效率E与工作年限$r(r\gt0)$，劳累程度$T(0\lt T\lt1)$，劳动动机$b(1\lt b\lt5)$相关，并建立了数学模型$E = 10-10T\cdot b^{-0.14r}$.已知甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C. 甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D. 甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

答案： BCD [设甲与乙的工作效率为$E_{1}$，$E_{2}$，工作年限为$r_{1}$，$r_{2}$，劳累程度为$T_{1}$，$T_{2}$，劳动动机为$b_{1}$，$b_{2}$，对于A，$r_{1}=r_{2}$，$E_{1}\gt E_{2}$，$b_{1}\lt b_{2}$，$0\lt\frac{b_{1}}{b_{2}}\lt1$，$\therefore E_{1}-E_{2}=10(T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}}-T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}})\gt0$，$T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}}\gt T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}}$，$\frac{T_{2}}{T_{1}}\gt\frac{b_{1}^{-0.14r_{1}}}{b_{2}^{-0.14r_{2}}}=(\frac{b_{1}}{b_{2}})^{-0.14r_{1}}\gt1$，$\therefore T_{2}\gt T_{1}$，即甲比乙劳累程度弱，A错误；对于B，$b_{1}=b_{2}$，$E_{1}\gt E_{2}$，$r_{1}\lt r_{2}$，$\therefore E_{1}-E_{2}=10(T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}}-T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}})\gt0$，$T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}}\gt T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}}$，$\frac{T_{2}}{T_{1}}\gt\frac{b_{1}^{-0.14r_{1}}}{b_{2}^{-0.14r_{2}}}=b_{1}^{-0.14(r_{1}-r_{2})}\gt1$，$\therefore T_{2}\gt T_{1}$，即甲比乙劳累程度弱，B正确；对于C，$T_{1}=T_{2}$，$r_{1}\gt r_{2}$，$b_{1}\gt b_{2}$，$\therefore b_{2}^{-0.14r_{2}}\gt b_{1}^{-0.14r_{1}}\gt b_{1}^{-0.14r_{2}}$，则$E_{1}-E_{2}=10-10T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}}-(10 - 10T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}})=10T_{1}\cdot(b_{2}^{-0.14r_{2}}-b_{1}^{-0.14r_{1}})\gt0$，$\therefore E_{1}\gt E_{2}$，即甲比乙工作效率高，故C正确；对于D，$b_{1}=b_{2}$，$r_{1}\gt r_{2}$，$T_{1}\lt T_{2}$，$1\lt b\lt5$，$\therefore b_{2}^{-0.14r_{2}}\gt b_{1}^{-0.14r_{1}}\gt0$，$T_{2}\gt T_{1}\gt0$，则$E_{1}-E_{2}=10-10T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}}-(10 - 10T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}})=10(T_{2}\cdot b_{2}^{-0.14r_{2}}-T_{1}\cdot b_{1}^{-0.14r_{1}})\gt0$，$\therefore E_{1}\gt E_{2}$，即甲比乙工作效率高，故D正确.]

22.（2023·重庆南开中学模拟）浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快.最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍.李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍.最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约 天后，浮萍可以铺满整个鱼塘.（不考虑草鱼对浮萍的损耗.结果四舍五入到整数，参考数据：$\lg2\approx0.3010$）

答案： 答案　14
解析　由题意知，鱼塘面积共$3×666.7\approx2000$平方米，浮萍n天后在水面上的面积大约有$2^{\frac{4n}{5}}$平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数n满足$2^{\frac{4n}{5}} = 2000$，两边取对数化简有$\frac{4n}{5}\lg2=\lg2000=\lg2 + 3\approx3.301$，解得$n\approx13.7$，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘.

23.（2023·北京海淀高三模拟）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg，积分1分.若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.
①当$x = 10$时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为 .

答案： 答案　①13　②36
解析　①若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为$120 + 10 = 130$分，故该家庭该月积分卡能兑换$130×0.1 = 13$元. ②设每个家庭每月产生的垃圾为$t$kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为$f(t)$元. 若$0\leq t\lt100$时，$f(t)=0.1t\lt0.34t×0.4 = 0.136t$恒成立；若$t\geq100$时，$f(t)=0.1t + 0.1x\leq0.34t×0.4$，可得$x\leq(0.36t)_{\min}=36$. 故x的最大值为36.