《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

6. 直线$ax + y + 3a - 1 = 0$恒过定点$M$，则直线$2x + 3y - 6 = 0$关于点$M$对称的直线方程为（ ）
A. $2x + 3y - 12 = 0$
B. $2x - 3y - 12 = 0$
C. $2x - 3y + 12 = 0$
D. $2x + 3y + 12 = 0$

答案： 6.D [由$ax + y + 3a - 1 = 0$，可得$a(x + 3) + (y - 1) = 0$，令$\begin{cases}x + 3 = 0\\y - 1 = 0\end{cases}$，可得$\begin{cases}x = -3\\y = 1\end{cases}$，所以$M(-3,1)$，$M$不在直线$2x + 3y - 6 = 0$上，设直线$2x + 3y - 6 = 0$关于点$M$对称的直线方程为$2x + 3y + c = 0(c\neq -6)$，则$\frac{|-6 + 3 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-6 + 3 + c|}{\sqrt{4 + 9}}$，解得$c = 12$或$c = -6$(舍去)，所以所求直线方程为$2x + 3y + 12 = 0$。故选D。]

7. 在平面直角坐标系$xOy$中，曲线$C:xy = \sqrt{3}$上任意一点$P$到直线$l:x + \sqrt{3}y = 0$的距离的最小值为（ ）
A. 1
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： 7.C [设曲线$C:xy = \sqrt{3}$上任意一点$P(x,y)$，则$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$，可得点$P$到直线$l:x + \sqrt{3}y = 0$的距离为$d = \frac{|x + \sqrt{3}y|}{\sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}}} = \frac{\left|x + \sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{x}\right|}{2} = \frac{\left|x + \frac{3}{x}\right|}{2}$，由于$\left|x + \frac{3}{x}\right| = |x| + \frac{3}{|x|} \geq 2\sqrt{|x|\cdot\frac{3}{|x|}} = 2\sqrt{3}$，当且仅当$|x| = \frac{3}{|x|}$时，即$x = \pm\sqrt{3}$时等号成立，所以点$P$到直线$l:x + \sqrt{3}y = 0$的距离的最小值为$\sqrt{3}$。故选C。]

8.（多选）已知直线$l$过点$P(1,2)$，且$A(2,3)$，$B(4,-5)$到$l$的距离相等，则直线$l$的方程是（ ）
A. $4x + y - 6 = 0$ B. $x + 4y - 6 = 0$
C. $3x + 2y - 7 = 0$ D. $2x + 3y - 7 = 0$

答案： 8.AC [由已知条件可知直线$l$平行于直线$AB$或过线段$AB$的中点。当直线$l// AB$时，因为直线$AB$的斜率为$\frac{3 + 5}{2 - 4} = -4$，所以直线$l$的方程是$y - 2 = -4(x - 1)$，即$4x + y - 6 = 0$；当直线$l$经过线段$AB$的中点$(3,-1)$时，直线$l$的方程是$\frac{y + 1}{2 + 1} = \frac{x - 3}{1 - 3}$，即$3x + 2y - 7 = 0$。所以直线$l$的方程为$3x + 2y - 7 = 0$或$4x + y - 6 = 0$。故选AC。]

9.（多选）对于直线$l_1:ax + 2y + 3a = 0$，$l_2:3x + (a - 1)y + 3 - a = 0$，以下说法正确的是（ ）
A. $l_1// l_2$的充要条件是$a = 3$
B. 当$a = \frac{2}{5}$时，$l_1\perp l_2$
C. 直线$l_1$一定经过点$M(3,0)$
D. 点$P(1,3)$到直线$l_1$的距离的最大值为5

答案： 9.BD [当$l_{1}// l_{2}$时，$a(a - 1) - 6 = 0$，解得$a = 3$或$a = -2$。当$a = -2$时，两直线分别为$x - y + 3 = 0$，$x - y + \frac{5}{3} = 0$，符合题意，当$a = 3$时，两直线分别为$3x + 2y + 9 = 0$，$3x + 2y = 0$，符合题意，故A错误；当$a = \frac{2}{5}$时，两直线为$x + 5y + 3 = 0$，$15x - 3y + 13 = 0$，$k_{l_{1}}\cdot k_{l_{2}} = -\frac{1}{5}\times5 = -1$，所以$l_{1}\perp l_{2}$，故B正确；直线$l_{1}:ax + 2y + 3a = 0$即直线$a(x + 3) + 2y = 0$，故直线$l_{1}$过定点$(-3,0)$，故C错误；因为直线$l_{1}:ax + 2y + 3a = 0$过定点$(-3,0)$，所以当直线$l_{1}:ax + 2y + 3a = 0$与点$P(1,3)$和$(-3,0)$的连线垂直时，$P(1,3)$到直线$l_{1}$的距离最大，最大值为$\sqrt{(1 + 3)^{2} + (3 - 0)^{2}} = 5$，故D正确。故选BD。]

10. 直线$l$过点$A(3,4)$且与点$B(-3,2)$的距离最大，那么直线$l$的方程为________.

答案： 答案 $3x + y - 13 = 0$
解析 $\because$直线$l$过点$A(3,4)$且与点$B(-3,2)$的距离最大，则直线$l$与直线$AB$垂直，$\therefore$直线$l$的斜率为$\frac{-1}{k_{AB}} = \frac{-1}{\frac{4 - 2}{3 + 3}} = -3$，$\therefore$直线$l$的方程为$y - 4 = -3(x - 3)$，即$3x + y - 13 = 0$。

11. 过点$A(2,1)$，$B(m,3)$的直线的倾斜角$\alpha$的范围是$(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})$，则实数$m$的取值范围是________.

答案： 答案 $(0,4)$
解析 当$m = 2$时，直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$，满足题意；当$m\neq2$时，直线$AB$的斜率为$\frac{3 - 1}{m - 2}$，所以$\frac{3 - 1}{m - 2}＞\tan\frac{\pi}{4} = 1$或$\frac{3 - 1}{m - 2}＜\tan\frac{3\pi}{4} = -1$，所以$\frac{4 - m}{m - 2}＞0$或$\frac{m}{m - 2}＜0$，解得$2 ＜ m ＜ 4$或$0 ＜ m ＜ 2$。综上，实数$m$的取值范围是$(0,4)$。

12. 设点$A(-2,0)$和$B(0,3)$，在直线$l:x - y + 1 = 0$上找一点$P$，使$|PA| + |PB|$取到最小值，则这个最小值为________.

答案：
答案 $\sqrt{17}$
解析 设点$B$关于直线$l:x - y + 1 = 0$的对称点为$C(m,n)$，线段$BC$的中点$(\frac{m}{2},\frac{n + 3}{2})$在$x - y + 1 = 0$上，则$\frac{m}{2}-\frac{n + 3}{2}+1 = 0$ ①，又$k_{BC}\cdot k_{l} = -1$，即$\frac{n - 3}{m}\times1 = -1$ ②，解①②得，$m = 2$，$n = 1$，所以$C(2,1)$，$|AC| = \sqrt{(2 + 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$，故$|PA| + |PB|$的最小值为$\sqrt{17}$。

13.（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线$y^{2} = 2px(p＞0)$的焦点到直线$y = x + 1$的距离为$\sqrt{2}$，则$p =$（ ）
A. 1
B. 2
C. $2\sqrt{2}$
D. 4

答案： 13.B [抛物线的焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$，其到直线$x - y + 1 = 0$的距离为$d = \frac{\left|\frac{p}{2}-0 + 1\right|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$，解得$p = 2(p = -6$舍去$)$。故选B。]

14.（2020·全国Ⅲ卷）点$(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$距离的最大值为（ ）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： 14.B [由$y = k(x + 1)$可知直线过定点$P(-1,0)$，设$A(0,-1)$，当直线$y = k(x + 1)$与$AP$垂直时，点$A$到直线$y = k(x + 1)$的距离最大，即为$|AP| = \sqrt{2}$。故选B。]

15.（2020·全国Ⅱ卷）若过点$(2,1)$的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线$2x - y - 3 = 0$的距离为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

答案： 15.B [由于圆上的点$(2,1)$在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限。设圆心的坐标为$(a,a)$，$a＞0$，则圆的半径为$a$，圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$。由题意可得$(2 - a)^{2} + (1 - a)^{2} = a^{2}$，可得$a^{2} - 6a + 5 = 0$，解得$a = 1$或$a = 5$。所以圆心的坐标为$(1,1)$或$(5,5)$。点$(1,1)$，$(5,5)$到直线$2x - y - 3 = 0$的距离均为$d = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以圆心到直线$2x - y - 3 = 0$的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。故选B。]

16.（2022·新高考Ⅱ卷）设点$A(-2,3)$，$B(0,a)$，若直线$AB$关于$y = a$对称的直线与圆$(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$有公共点，则$a$的取值范围是________.

答案： 答案 $[\frac{1}{3},\frac{3}{2}]$
解析 $A(-2,3)$关于$y = a$对称的点的坐标为$A'(-2,2a - 3)$，$B(0,a)$在直线$y = a$上，设$A'B$所在直线为直线$l$，所以直线$l$的方程为$y = \frac{a - 3}{-2}x + a$，即$(a - 3)x + 2y - 2a = 0$。圆$C:(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$，圆心$C(-3,-2)$，半径$r = 1$，依题意，圆心到直线$l$的距离$d = \frac{|-3(a - 3) - 4 - 2a|}{\sqrt{(a - 3)^{2} + 2^{2}}}\leq1$，即$(5 - 5a)^{2}\leq(a - 3)^{2} + 2^{2}$，解得$\frac{1}{3}\leq a\leq\frac{3}{2}$，即$a$的取值范围是$[\frac{1}{3},\frac{3}{2}]$。