《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

17.（2023·吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线$kx - y + 2k - 1 = 0$恒过点$A$，点$A$也在直线$mx + ny + 2 = 0$上，其中$m$，$n$均为正数，则$mn$的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： 17.B [因为$kx - y + 2k - 1 = 0$，则$k(x + 2) - (y + 1) = 0$，令$\begin{cases}x + 2 = 0\\y + 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}$，即直线$kx - y + 2k - 1 = 0$恒过点$A(-2,-1)$。又因为点$A$也在直线$mx + ny + 2 = 0$上，则$-2m - n + 2 = 0$，可得$2m + n = 2$，且$m,n＞0$，则$2m + n = 2\geq2\sqrt{2mn}$，即$0 ＜ mn\leq\frac{1}{2}$，当且仅当$2m = n = 1$时，等号成立，所以$mn$的最大值为$\frac{1}{2}$。故选B。]

18.（2023·泰安一中高三期末）已知点$A(2,-3)$，$B(-3,-2)$，直线$l:mx + y - m - 1 = 0$与线段$AB$相交，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-4]\cup(\frac{3}{4},+\infty)$
B. $(-\infty,-\frac{3}{4}]\cup[4,+\infty)$
C. $[-4,\frac{3}{4}]$
D. $[-\frac{3}{4},4]$

答案：
18.B [由$mx + y - m - 1 = 0$可得$m(x - 1) + y - 1 = 0$，由$\begin{cases}x - 1 = 0\\y - 1 = 0\end{cases}$，可得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，所以直线$l:mx + y - m - 1 = 0$过定点$P(1,1)$，由$mx + y - m - 1 = 0$可得$y = -m(x - 1) + 1$，作出图象如图所示，$k_{PA} = \frac{-3 - 1}{2 - 1} = -4$，$k_{PB} = \frac{-2 - 1}{-3 - 1} = \frac{3}{4}$，若直线$l$与线段$AB$相交，则$-m\leq -4$或$-m\geq\frac{3}{4}$，解得$m\leq-\frac{3}{4}$或$m\geq4$，所以实数$m$的取值范围是$(-\infty,-\frac{3}{4}]\cup[4,+\infty)$。故选B。

19.（2024·上海中学高三校考期中）过点$P(3,0)$作一条直线$l$，它夹在两条直线$l_1:2x - y - 2 = 0$和$l_2:x + y + 3 = 0$之间的线段恰被点$P$平分，则直线$l$的方程为（ ）
A. $8x + y - 24 = 0$
B. $8x - y - 24 = 0$
C. $8x + y + 24 = 0$
D. $x + 8y + 24 = 0$

答案： 19.B [如果直线$l$的斜率不存在，直线$l$的方程为$x = 3$，不符合题意，所以直线$l$的斜率存在，设为$k$，则直线$l$的方程为$y = k(x - 3)$，与直线$l_{1}$联立，得$\begin{cases}y = k(x - 3)\\2x - y - 2 = 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x = \frac{3k - 2}{k - 2}\\y = \frac{4k}{k - 2}\end{cases}$，与直线$l_{2}$联立，得$\begin{cases}y = k(x - 3)\\x + y + 3 = 0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x = \frac{3k - 3}{k + 1}\\y = -\frac{6k}{k + 1}\end{cases}$，所以直线$l$与$l_{1}$，$l_{2}$的交点分别为$(\frac{3k - 2}{k - 2},\frac{4k}{k - 2})$，$(\frac{3k - 3}{k + 1},-\frac{6k}{k + 1})$，又直线$l$夹在两条直线$l_{1}$和$l_{2}$之间的线段恰被点$P$平分，所以$\frac{3k - 2}{k - 2}+\frac{3k - 3}{k + 1} = 6$，$\frac{4k}{k - 2}+(-\frac{6k}{k + 1}) = 0$，解得$k = 8$，所以直线$l$的方程为$8x - y - 24 = 0$。故选B。]

20.（2024·江苏镇江四校高三上联考）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线。若平面上到两条直线$x - y = 0$，$y = 0$的距离之和为2的点$P$的轨迹为曲线$\Gamma$，则曲线$\Gamma$围成的图形的面积为（ ）
A. $8\sqrt{2}$
B. $6\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： 20.A [设$P(x,y)$，则$P$的轨迹方程为$\frac{|x - y|}{\sqrt{2}}+|y| = 2$。令$y = 0$，则曲线$\Gamma$与直线$y = 0$交于$A(2\sqrt{2},0)$，$C(-2\sqrt{2},0)$，令$x = y$，则曲线$\Gamma$与直线$x - y = 0$交于$B(2,2)$，$D(-2,-2)$，$\because|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = 2\sqrt{2}$，$\therefore S = 4S_{\triangle OAB} = 4\times\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}\times\sin\frac{\pi}{4} = 8\sqrt{2}$。]

21.（多选）（2024·山东临沂一中高三月考）已知平面上三条直线$l_1:x - 2y + 1 = 0$，$l_2:x - 1 = 0$，$l_3:x + ky = 0$不能构成三角形，则实数$k$的值可以为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

答案： 21.ABC [依题意，三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线$x + ky = 0$经过直线$x - 2y + 1 = 0$与直线$x - 1 = 0$的交点$(1,1)$时，$1 + k = 0$，解得$k = -1$。②当直线$x + ky = 0$与直线$x - 2y + 1 = 0$平行时，$\frac{1}{1}=\frac{k}{-2}\neq\frac{0}{1}$，解得$k = -2$；当直线$x + ky = 0$与直线$x - 1 = 0$平行时，可得$k = 0$。综上，$k = -2$或$k = -1$或$k = 0$。故选ABC。]

22.（多选）（2023·河南校考模拟预测）已知$O$为坐标原点，$A(2,0)$，$B(0,2)$，$M(1,0)$，$P$，$Q$分别是线段$AB$，$OB$上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点$M$到直线$AB$的距离为$\sqrt{2}$
B. 若$MQ// AB$，则点$Q$的坐标为$(0,1)$
C. 点$M$关于直线$AB$对称的点的坐标为$(2,1)$
D. $\triangle MPQ$周长的最小值为$\sqrt{10}$

答案：
22.BCD [对于A，由题意可得直线$AB$的方程为$x + y - 2 = 0$，故点$M$到直线$AB$的距离为$\frac{|1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，故A错误；对于B，过点$M$且与直线$AB$平行的直线方程为$x + y - 1 = 0$，当$x = 0$时，$y = 1$，所以$Q(0,1)$，故B正确；对于C，如图，设点$M$关于直线$AB$对称的点为$M_{2}(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y}{x - 1}=1\\\frac{x + 1}{2}+\frac{y}{2}-2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$，故$M_{2}(2,1)$，故C正确；对于D，点$M$关于$y$轴对称的点$M_{1}$的坐标为$(-1,0)$，则$\triangle MPQ$的周长为$|MP| + |PQ| + |QM| = |M_{2}P| + |PQ| + |QM_{1}|\geq|M_{2}M_{1}| = \sqrt{10}$，故D正确。故选BCD。]

23.（2023·福建厦门一中校考模拟预测）已知直线$l_1:3x - 4y - 4 = 0$关于直线$l_2$的对称直线为$y$轴，则直线$l_2$的方程为__________.

答案：
答案 $y = 2x - 1$或$y = -\frac{1}{2}x - 1$
解析 直线$l_{1}$交$x$轴于点$M(\frac{4}{3},0)$，交$y$轴于点$P(0,-1)$，设直线$l_{2}$的方程为$y = kx - 1$，则点$M$关于直线$l_{2}$的对称点$N(a,b)$在$y$轴上，所以$a = 0$，则$MN$的中点$Q(\frac{2}{3},\frac{b}{2})$在直线$l_{2}$上，所以$\frac{2}{3}k - 1 = \frac{b}{2}$ ①，又$-\frac{1}{k}=\frac{b - 0}{0 - \frac{4}{3}}$ ②，联立①②可得$k = 2$或$k = -\frac{1}{2}$，所以直线$l_{2}$的方程为$y = 2x - 1$或$y = -\frac{1}{2}x - 1$。

24.（2023·湖北沙市中学高三期中）已知直线$l$过点$(3,2)$，且与$x$轴、$y$轴的正半轴分别交于$A$，$B$两点，$O$为坐标原点，则$|OA| + |OB|$的最小值为__________；当$S_{\triangle ABO}$的面积最小时，直线$l$的方程是__________.

答案： 答案 $5 + 2\sqrt{6}$ $2x + 3y - 12 = 0$
解析 由题意，设直线$l$为$y = k(x - 3) + 2$且$k＜0$，$\therefore A(3 - \frac{2}{k},0)$，$B(0,2 - 3k)$，$\therefore|OA| + |OB| = 3 - \frac{2}{k}+2 - 3k = 5 + (-\frac{2}{k})+(-3k)\geq5 + 2\sqrt{(-\frac{2}{k})(-3k)} = 5 + 2\sqrt{6}$，当且仅当$k = -\frac{\sqrt{6}}{3}$时等号成立，$\therefore|OA| + |OB|$的最小值为$5 + 2\sqrt{6}$。$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}|OA|\cdot|OB| = 6 + (-\frac{2}{k})+(-\frac{9k}{2})\geq6 + 2\sqrt{(-\frac{2}{k})(-\frac{9k}{2})} = 12$，当且仅当$k = -\frac{2}{3}$时等号成立，此时直线$l$的方程为$y = -\frac{2}{3}(x - 3) + 2$，整理得$2x + 3y - 12 = 0$。