《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

17.（2024·湖北腾云联盟高三上学期月考）已知$a＞0$且$a\neq1$，若函数$f(x)=\frac{x^{3}\cdot2^{x}}{a^{x}+1}$为奇函数，则$a =$（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： B [已知a ＞ 0且a≠1，若函数f(x)=(x^3·2^x)/(a^x + 1)为奇函数，则有f(-x)=-f(x)，即((-x)^3·2^(-x))/(a^(-x)+1)=-(x^3·2^x)/(a^x + 1)，化简，得a^x/2^x = 2^x，所以a = 4.故选B.]

18.（2024·山东临沂第十八中学高三第一次调研）若$a = (\sqrt{2})^{\frac{2}{3}},b = \log_{3}\text{e},c = (\frac{1}{\text{e}})^{-\frac{1}{3}}$，则（ ）
A. $a＞b＞c$
B. $c＞a＞b$
C. $a＞c＞b$
D. $c＞b＞a$

答案： B [因为a = (√2)^(2/3)=2^(1/3)＞2^0 = 1，c = (1/e)^(-1/3)=e^(1/3)＞2^(1/3)=a，所以c ＞ a ＞ 1，又b = log_3e＜log_33 = 1，故c ＞ a ＞ b.故选B.]

19.（2024·广东湛江第一中学高三模拟）已知函数$f(x)=\begin{cases}(2 - 3a)x,x\geq1,\\-a\cdot(\frac{1}{2})^{x}+(\frac{1}{4})^{x}-\frac{1}{8},x＜1\end{cases}$满足对任意的实数$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}\neq x_{2}$，都有$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{1}-x_{2}}＞0$成立，则实数$a$的取值范围为（ ）
A. $[1,+\infty)$
B. $[\frac{3}{4},+\infty)$
C. $(\frac{2}{3},\frac{3}{4}]$
D. $[\frac{3}{4},1]$

答案： D [因为对任意的实数x_1，x_2，且x_1≠x_2，都有(f(x_2)-f(x_1))/(x_1 - x_2)＞0成立，所以对任意的实数x_1，x_2，且x_1≠x_2，(f(x_1)-f(x_2))/(x_1 - x_2)＜0，即函数f(x)是R上的减函数.因为f(x)={(2 - 3a)x，x≥1，-a·(1/2)^x+(1/4)^x - 1/8，x ＜ 1}，令t=(1/2)^x，t ＞ 1/2，要使f(x)=-a·(1/2)^x+(1/4)^x - 1/8在(-∞，1)上单调递减，所以y = t^2 - at - 1/8在(1/2，+∞)上单调递增.另一方面，函数y=(2 - 3a)x，x≥1为减函数，所以{2 - 3a ＜ 0，a/2≤1/2，2 - 3a≤-1/2a + 1/8}，解得3/4≤a≤1，所以实数a的取值范围是[3/4，1].]

20.（多选）（2024·广东高中毕业班第一次调研）若实数$a,b$满足$2^{a}+3a = 3^{b}+2b$，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A. $0 ＜ a ＜ b ＜ 1$ B. $b ＜ a ＜ 0$ C. $1 ＜ a ＜ b$ D. $a = b$

答案：
ABD [设f(x)=2^x + 3x，g(x)=3^x + 2x，则f(x)=2^x + 3x，g(x)=3^x + 2x都为增函数，作出两个函数的图象如图1，两个函数的图象有2个交点，分别为(0，1)，(1，5).对于A，如图2，作直线y = m(1 ＜ m ＜ 5)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且0 ＜ a ＜ b ＜ 1，此时f(a)=g(b)=m，即2^a + 3a = 3^b + 2b能成立，故A正确；对于B，如图3，作直线y = n(n ＜ 0)分别与f(x)，g(x)的图象相交，交点横坐标为a，b，且b ＜ a ＜ 0，此时f(a)=g(b)=n，即2^a + 3a = 3^b + 2b能成立，故B正确；对于C，由两个函数的图象可知，若1 ＜ a ＜ b，则g(b)＞f(b)＞f(a)，所以此时2^a + 3a = 3^b + 2b不可能成立，故C不正确；对于D，a = b = 0或a = b = 1，2^a + 3a = 3^b + 2b成立，故D正确.故选ABD.]
　 　

21.（多选）（2024·福建厦门第一中学高三模拟）已知$f(x),g(x)$分别是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数和偶函数，且$f(x)+g(x)=2024^{x}-\sin x - 25x$，则下列说法正确的是（ ）
A. $g(0)=1$
B. $g(x)$在$[0,1]$上单调递减
C. $g(x - 1102)$的图象关于直线$x = 1102$对称
D. $g(x)$的最小值为1

答案： ACD [由题意，将 - x代入f(x)+g(x)=2024^x - sinx - 25x得f(-x)+g(-x)=2024^(-x)-sin(-x)-25(-x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得 - f(x)+g(x)=2024^(-x)+sinx + 25x，将该式与题干中原式联立可得g(x)=(2024^x + 2024^(-x))/2.对于A，g
(0)=(2024^0 + 2024^0)/2 = 1，故A正确；对于B，因为g
(0)=1，g
(1)=(2024^1 + 2024^(-1))/2＞1，所以g(x)不可能在[0，1]上单调递减，故B错误；对于C，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，g(x - 1102)的图象是由g(x)的图象向右平移1102个单位得到的，故g(x - 1102)的图象关于直线x = 1102对称，故C正确；对于D，根据基本不等式g(x)=1/2(2024^x + 1/2024^x)≥1，当且仅当x = 0时取等号，故D正确.]

22.（2024·山东烟台高三开学考试）设函数$f(x)=\begin{cases}2^{-\vert x - a\vert},x\leq1,\\-\frac{1}{2}x + 1,x＞1\end{cases}$若$f(1)$是函数$f(x)$的最大值，则实数$a$的取值范围为_______.

答案： 答案　[1，2]
解析　因为f(x)={2^(-|x - a|)，x≤1，-1/2x + 1，x ＞ 1}，当x ＞ 1时，f(x)=-1/2x + 1单调递减且f(x)＜1/2；当x≤1时，f(x)=2^(-|x - a|)=(1/2)^(|x - a|)，可得当x ＞ a时函数f(x)单调递减，当x ＜ a时函数f(x)单调递增，若a ＜ 1，x≤1，则f(x)在x = a处取得最大值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x = 1处取得最大值，且(1/2)^(|a - 1|)≥1/2，解得1≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是[1，2].