《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

9. (多选)下列说法正确的是（ ）
A. x + $\frac{1}{x}$(x＞0)的最小值是2
B. $\frac{x^2 + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}$的最小值是$\sqrt{2}$
C. $\frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}}$的最小值是2
D. 2 - 3x - $\frac{4}{x}$的最大值是2 - 4$\sqrt{3}$

答案： AB [当$x＞0$时，$x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} = 2$（当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x = 1$时取等号），A正确；$\because x^{2}\geq0,\therefore\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{x^{2}+2}\geq\sqrt{2}$，B正确；$\frac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}=\frac{x^{2}+4 + 1}{\sqrt{x^{2}+4}}=\sqrt{x^{2}+4}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}$，令$t=\sqrt{x^{2}+4}$，则$t\in[2,+\infty)$，$\because y=t+\frac{1}{t}$在$[2,+\infty)$上单调递增，$\therefore t+\frac{1}{t}\geq2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，即$\frac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}\geq\frac{5}{2}$，C错误；当$x ＜ 0$时，$2 - 3x-\frac{4}{x}$无最大值，D错误. 故选AB.]

10. (多选)若a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}$ + b = 2，则$\frac{a}{a + 1}$ + $\frac{1}{b}$的取值可能是（ ）
A. $\frac{6}{5}$ B. $\frac{5}{4}$ C. $\frac{4}{3}$ D. $\frac{3}{2}$

答案： CD [原式$=\frac{1}{\frac{1}{a}+1}+\frac{1}{b}=\frac{1}{(2 - b)+1}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3 - b}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3 - b}+\frac{1}{b})(3 - b + b)=\frac{1}{3}(1+\frac{3 - b}{b}+\frac{b}{3 - b}+1)\geq\frac{4}{3}$（当且仅当$b=\frac{3}{2},a = 2$时取等号）.]

11. 若正实数x，y满足x + 2y + 2xy - 8 = 0，则x + 2y的最小值为______.

答案： 答案 4
解析 $\because$正实数$x,y$满足$x + 2y+2xy - 8 = 0,\therefore x + 2y+(\frac{x + 2y}{2})^{2}-8\geq0$. 设$x + 2y = t＞0,\therefore t+\frac{1}{4}t^{2}-8\geq0,\therefore t^{2}+4t - 32\geq0$，即$(t + 8)(t - 4)\geq0,\therefore t\geq4$，即$x + 2y\geq4$，当且仅当$x = 2,y = 1$时取等号，故$x + 2y$的最小值为4.

12. 正项等比数列$\{a_n\}$中，存在两项$a_m$，$a_n$，使得$\sqrt{a_m a_n}$ = 2$a_1$，且$a_6$ = $a_5$ + 2$a_4$，则m + n = ______，$\frac{1}{m}$ + $\frac{9}{n}$的最小值是______.

答案： 答案 4
解析 由于数列$\{a_{n}\}$是正项等比数列，所以公比$q＞0$. 由$a_{6}=a_{5}+2a_{4}$得$q^{2}=q + 2$，解得$q = 2$（负根舍去）. 由$\sqrt{a_{m}a_{n}}=2a_{1}$，得$2^{m + n - 2}=2^{2}$，即$m + n = 4$. 故$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}=\frac{1}{4}(\frac{1}{m}+\frac{9}{n})(m + n)=\frac{1}{4}(1 + 9+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n})\geq\frac{1}{4}(10 + 2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot\frac{9m}{n}})=\frac{1}{4}\times(10 + 6)=4$，当且仅当$m = 1,n = 3$时取等号，故$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值为4.

13. (2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是（ ）
A. y = $x^2$ + 2x + 4
B. y = |sinx| + $\frac{4}{|sinx|}$
C. y = $2^x$ + $2^{-x}$
D. y = ln x + $\frac{4}{ln x}$

答案： C [对于A，因为$y=x^{2}+2x + 4=(x + 1)^{2}+3$，所以当$x=-1$时，$y$取得最小值，且$y_{min}=3$，所以A不符合题意；对于B，因为$y = |\sin x|+\frac{4}{|\sin x|}\geq2\sqrt{|\sin x|\cdot\frac{4}{|\sin x|}} = 4$，所以$y\geq4$，当且仅当$|\sin x|=\frac{4}{|\sin x|}$，即$|\sin x| = 2$时取等号，但是根据正弦函数的性质可知$|\sin x| = 2$不可能成立，因此可知$y＞4$，所以B不符合题意；对于C，因为$y = 2^{x}+2^{2 - x}\geq2\sqrt{2^{x}\cdot2^{2 - x}} = 4$，当且仅当$2^{x}=2^{2 - x}$，即$x = 2 - x,x = 1$时取等号，所以$y_{min}=4$，所以C符合题意；对于D，当$0 ＜ x ＜ 1$时，$\ln x＜0,y=\ln x+\frac{4}{\ln x}＜0$，所以D不符合题意.]

14. (2021·浙江高考)已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于$\frac{1}{2}$的个数的最大值是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C [因为$\alpha,\beta,\gamma$是互不相同的锐角，所以$\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta,\cos\gamma,\sin\gamma,\cos\alpha$均为正数. 由基本不等式可知$\sin\alpha\cos\beta\leq\frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta}{2}$，$\sin\beta\cos\gamma\leq\frac{\sin^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}{2}$，$\sin\gamma\cos\alpha\leq\frac{\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\alpha}{2}$. 三式相加可得$\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha\leq\frac{3}{2}$，当且仅当$\sin\alpha=\cos\beta$，$\sin\beta=\cos\gamma$，$\sin\gamma=\cos\alpha$，即$\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{4}$时取等号，因为$\alpha,\beta,\gamma$是互不相同的锐角，所以$\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\alpha＜\frac{3}{2}$，所以这三个值不会都大于$\frac{1}{2}$. 若取$\alpha=\frac{\pi}{6},\beta=\frac{\pi}{3},\gamma=\frac{\pi}{4}$，则$\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}＞\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}＞\frac{1}{2}$，所以这三个值中大于$\frac{1}{2}$的个数的最大值为2. 故选C.]

15. (2020·上海高考)下列不等式恒成立的是（ ）
A. $a^2$ + $b^2$≤2ab
B. $a^2$ + $b^2$≥ - 2ab
C. a + b≥2$\sqrt{|ab|}$
D. $a^2$ + $b^2$≤ - 2ab

答案： B [显然当$a＜0,b＞0$时，不等式$a^{2}+b^{2}\leq2ab$不成立，故A错误；$\because(a + b)^{2}\geq0,\therefore a^{2}+b^{2}+2ab\geq0,\therefore a^{2}+b^{2}\geq - 2ab$，故B正确，D错误；显然当$a＜0,b＜0$时，不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}$不成立，故C错误. 故选B.]

16. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足$x^2$ + $y^2$ - xy = 1，则（ ）
A. x + y≤1 B. x + y≥ - 2
C. $x^2$ + $y^2$≤2 D. $x^2$ + $y^2$≥1

答案： BC [由$x^{2}+y^{2}-xy = 1$可变形为$(x + y)^{2}-1 = 3xy\leq3(\frac{x + y}{2})^{2}$，解得$-2\leq x + y\leq2$，当且仅当$x = y=-1$时，$x + y=-2$，当且仅当$x = y = 1$时，$x + y = 2$，所以A错误，B正确；因为$x^{2}+y^{2}-xy = 1$变形可得$(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^{2}=1$，设$x-\frac{y}{2}=\cos\theta,\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin\theta$，所以$x=\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta,y=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta$，因此$x^{2}+y^{2}=\cos^{2}\theta+\frac{5}{3}\sin^{2}\theta+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta\cos\theta=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin2\theta-\frac{1}{3}\cos2\theta+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sin(2\theta-\frac{\pi}{6})\in[\frac{2}{3},2]$，即$\frac{2}{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq2$，当且仅当$x=\frac{\sqrt{3}}{3},y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x=-\frac{\sqrt{3}}{3},y=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$x^{2}+y^{2}=\frac{2}{3}$，当且仅当$x = y=\pm1$时，$x^{2}+y^{2}=2$，所以C正确，D错误. 故选BC.]

17. (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a＞0，b＞0，且a + b = 1，则（ ）
A. $a^2$ + $b^2$≥$\frac{1}{2}$ B. $2^{a - b}$＞$\frac{1}{2}$
C. log$_2$a + log$_2$b≥ - 2 D. $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$≤$\sqrt{2}$

答案： ABD [对于A，$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(1 - a)^{2}=2a^{2}-2a + 1=2(a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}\geq\frac{1}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故A正确；对于B，$a - b = 2a - 1＞-1$，所以$2^{a - b}＞2^{-1}=\frac{1}{2}$，故B正确；对于C，$\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}ab\leq\log_{2}(\frac{a + b}{2})^{2}=\log_{2}\frac{1}{4}=-2$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故C不正确；对于D，因为$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=1 + 2\sqrt{ab}\leq1 + a + b = 2$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$，当且仅当$a = b=\frac{1}{2}$时，等号成立，故D正确. 故选ABD.]

18. (2021·天津高考)若a＞0，b＞0，则$\frac{1}{a}$ + $\frac{a}{b^2}$ + b的最小值为______.

答案： 答案 $2\sqrt{2}$
解析 $\because a＞0,b＞0,\therefore\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b\geq2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{b^{2}}}+b=\frac{2}{b}+b\geq2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot b}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{a}{b^{2}}$且$\frac{2}{b}=b$，即$a = b=\sqrt{2}$时等号成立，$\therefore\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$的最小值为$2\sqrt{2}$.