《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

6. （多选）已知向量$\boldsymbol{a}=(4,3 - m),\boldsymbol{b}=(1,m)$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$m = 4$
B. 若$m=\frac{3}{5}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
C. $|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$的最小值为6
D. 若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角，则$m\lt - 1$或$m\gt 4$

答案： BCD [对于 A,$\because\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$,$\therefore4\times1+m(3 - m)=0$,解得$m = 4$或$m=-1$,故 A 错误;对于 B,由题意可知$\boldsymbol{a}=(4,\frac{12}{5})$,$\boldsymbol{b}=(1,\frac{3}{5})$,即$\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{b}$,则有$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,故 B 正确;对于 C,由$\boldsymbol{a}=(4,3 - m)$,$\boldsymbol{b}=(1,m)$,得$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(6,3 + m)$,则$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\sqrt{36+(m + 3)^{2}}$,显然当$m=-3$时,$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|$取得最小值$6$,故 C 正确;对于 D,若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为钝角,则$\begin{cases}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4+m(3 - m)＜0\\4m\neq3 - m\end{cases}$,解得$m＜-1$或$m＞4$,故 D 正确. 故选 BCD.]

7. 已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，且$|\boldsymbol{a}| = 2|\boldsymbol{b}| = 1$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为________.

答案： 答案 $\frac{\pi}{3}$
解析 设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$,因为$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$,所以$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}^{2}=\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{1}{4}=0$,解得$\cos\theta=\frac{1}{2}$,又$0\leqslant\theta\leqslant\pi$,则$\theta=\frac{\pi}{3}$.

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3$，点$P$为边$BC$上的一动点，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}$的最小值为________.

答案： 答案 $-1$
解析 由题意,设$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}$,$\lambda\in[0,1]$,所以$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BA}=-\lambda\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{PC}=(1 - \lambda)\overrightarrow{BC}$. 又$BC = 3,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3$,所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=(-\lambda\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})\cdot(1 - \lambda)\overrightarrow{BC}=-\lambda(1 - \lambda)\overrightarrow{BC}^{2}+(1 - \lambda)\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=9(\lambda^{2}-\lambda)+3(1 - \lambda)=9\lambda^{2}-12\lambda + 3=9(\lambda-\frac{2}{3})^{2}-1$,当$\lambda=\frac{2}{3}$时,$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}$取得最小值$-1$.

9. （2023·新课标Ⅰ卷）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1),\boldsymbol{b}=(1,-1)$，若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，则（ ）
A. $\lambda+\mu = 1$
B. $\lambda+\mu = - 1$
C. $\lambda\mu = 1$
D. $\lambda\mu = - 1$

答案： D [因为$\boldsymbol{a}=(1,1)$,$\boldsymbol{b}=(1,-1)$,所以$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(1+\lambda,1 - \lambda)$,$\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=(1+\mu,1 - \mu)$,由$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$可得,$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})=0$,即$(1+\lambda)(1+\mu)+(1 - \lambda)(1 - \mu)=0$,整理得$\lambda\mu=-1$. 故选 D.]

10. （2023·全国甲卷）向量$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1,|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$（ ）
A. $-\frac{1}{5}$
B. $-\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：
10.D [因为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$,所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{c}$,即$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}^{2}$,即$1 + 1+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$,所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$. 如图,设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,由题意知,$OA = OB = 1$,$OC=\sqrt{2}$,$\triangle OAB$是等腰直角三角形,$AB$边上的高$OD=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$CD=OC + OD=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,$\tan\angle ACD=\frac{AD}{CD}=\frac{1}{3}$,$\cos\angle ACD=\frac{3}{\sqrt{10}}$,$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\cos\angle ACB=\cos(2\angle ACD)=2\cos^{2}\angle ACD - 1=2\times(\frac{3}{\sqrt{10}})^{2}-1=\frac{4}{5}$.

故选 D.]

11. （2023·全国乙卷）已知$\odot O$的半径为1，直线$PA$与$\odot O$相切于点$A$，直线$PB$与$\odot O$交于$B,C$两点，$D$为$BC$的中点，若$|PO|=\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}$的最大值为（ ）
A. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$
C. $1+\sqrt{2}$
D. $2+\sqrt{2}$

答案：
11.A [如图所示,$|\overrightarrow{OA}| = 1$,$|\overrightarrow{PO}|=\sqrt{2}$,则由题意可知$\angle APO=\frac{\pi}{4}$,由勾股定理可得$|\overrightarrow{PA}| = 1$,设射线$PO$绕点$P$按逆时针旋转$\theta$后与射线$PD$重合,则$-\frac{\pi}{4}＜\theta＜\frac{\pi}{4}$,$\angle APD=\frac{\pi}{4}+\theta$,且$|\overrightarrow{PD}|=\sqrt{2}\cos\theta$. 所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PD}|\cos(\frac{\pi}{4}+\theta)=\sqrt{2}\cos\theta\cos(\frac{\pi}{4}+\theta)=\sqrt{2}\cos\theta(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta)=\cos^{2}\theta-\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2\theta+\frac{\pi}{4})\leqslant\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$.

故选 A.]

12. （2022·新高考Ⅱ卷）已知向量$\boldsymbol{a}=(3,4),\boldsymbol{b}=(1,0),\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$，若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，则$t=$（ ）
A. -6
B. -5
C. 5
D. 6

答案： 12.C [$\boldsymbol{c}=(3 + t,4)$,$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$,即$\frac{9 + 3t+16}{5|\boldsymbol{c}|}=\frac{3 + t}{|\boldsymbol{c}|}$,解得$t = 5$. 故选 C.]

13. （2022·全国乙卷）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3},|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： 13.C [由题设,$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$,得$|\boldsymbol{a}|^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4|\boldsymbol{b}|^{2}=9$,代入$|\boldsymbol{a}| = 1$,$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$,得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$. 故选 C.]

14. （2023·新课标Ⅱ卷）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3},|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则$|\boldsymbol{b}| =$________.

答案： 答案 $\sqrt{3}$
解析 解法一:因为$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{2a}-\boldsymbol{b}|$,即$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}$,则$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$,整理得$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$,又因为$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$,即$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=3$,则$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=3$,所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$.
解法二:设$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$,则$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{3}$,$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b}$,$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}$,由题意可得,$(\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b})^{2}=(2\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b})^{2}$,则$\boldsymbol{c}^{2}+4\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{c}^{2}+4\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$,整理得$\boldsymbol{c}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}$,即$|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|=\sqrt{3}$.