《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

16. (本小题满分15分)已知函数$f(x)=\log_{2}(2 - x)-\log_{2}(x + 2)$.
(1)求函数$f(x)$的定义域；
(2)判断$f(x)$的奇偶性并加以证明；
(3)若$f(x)＜\log_{2}(ax)$在$x\in[\frac{1}{2},1]$上恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 16.解
(1)由{2 - x＞0，x + 2＞0}，得 - 2＜x＜2.所以函数f(x)的定义域为(-2，2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下：由
(1)的结论可知f(x)的定义域关于原点对称，又因为f(-x)=log_2(2 + x)-log_2(-x + 2)= - f(x)，所以f(x)为奇函数.
(3)由f(x)=log_2(2 - x)-log_2(x + 2)＜log_2(ax)，得h(x)=ax^2+(2a + 1)x - 2＞0在x∈[1/2，1]上恒成立，又因为a＞0，h(x)图象的对称轴为直线x=-(2a + 1)/2a＜0，所以h(1/2)=5a/4 - 3/2＞0，得a＞6/5.所以实数a的取值范围为(6/5，+∞).

17. (2023·湖南岳阳高三模拟)(本小题满分15分)某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买$x$台机器人的总成本$p(x)=\frac{1}{600}x^{2}+x + 150$万元.
(1)若使每台机器人的平均成本最低，应购买多少台？
(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排$m$人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量$q(m)=\begin{cases}\frac{8}{15}m(60 - m),1\leqslant m\leqslant30\\480,m＞30\end{cases}$(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

答案： 17.解
(1)由总成本p(x)=1/600x^2 + x + 150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)/x=(1/600x^2 + x + 150)/x=1/600x + 150/x + 1≥2√(1/600x·150/x)+1 = 2.当且仅当1/600x = 150/x，即x = 300时，等号成立.所以若使每台机器人的平均成本最低，应购买300台.
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={8/15m(60 - m)，1≤m≤30，480，m＞30}，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60 - m)= - 160m^2 + 9600m，所以当m = 30时，日平均分拣量有最大值144000件.当m＞30时，日平均分拣量为480×300 = 144000(件).所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要的人数为144000/1200 = 120.所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少(120 - 30)/120×100% = 75%.