《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

2.（2023·新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥A - BCD中，DA = DB = DC，BD⊥CD，∠ADB = ∠ADC = 60°，E为BC的中点.
（1）证明：BC⊥DA；
（2）点F满足$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}$，求二面角D - AB - F的正弦值.

答案：

3.（2024·广东佛山S7高质量发展联盟高三联考）如图，四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁上的一点，AA₁⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AA₁ = AB = 2AD = 2DC.
（1）若M是DD₁的中点，证明：平面AMB⊥平面A₁MB₁；
（2）设四棱锥M - ABB₁A₁与四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的体积分别为V₁与V₂，求$\frac{V₁}{V₂}$的值.

答案： 解
(1)证明:因为AA₁⊥平面ABCD,且AB⊂平面ABCD,所以AA₁⊥AB, 又AB⊥AD,AA₁∩AD = A,AA₁,AD⊂平面AA₁D₁D, 所以AB⊥平面AA₁D₁D, 又MA₁⊂平面AA₁D₁D,所以AB⊥MA₁. 因为AD = DM,所以∠AMD = 45°, 同理∠A₁MD₁ = 45°,所以AM⊥MA₁, 又AM∩AB = A,AM,AB⊂平面AMB,所以MA₁⊥平面AMB, 又MA₁⊂平面A₁MB₁, 故平面AMB⊥平面A₁MB₁.
(2)设AD = 1,则四棱锥M - ABB₁A₁的底面ABB₁A₁的面积S四边形ABB₁A₁ = 4,高为AD = 1,所以四棱锥M - ABB₁A₁的体积V₁ = 1/3S四边形ABB₁A₁×AD = 4/3. 四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面ABCD的面积S四边形ABCD = 3/2,高为AA₁ = 2, 所以四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的体积V₂ = S四边形ABCD×AA₁ = 3,所以V₁/V₂ = 4/9.