《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7.(2024·湖南常德一中开学考试)已知$0 ＜ m ＜ 1,0 ＜ n ＜ 1$,且$2\log_{4}m=\log_{2}(1 - n)$,则$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值是( )
A.18
B.16
C.10
D.4

答案： 7.B [因为$0 ＜ m ＜ 1$，$0 ＜ n ＜ 1$，且$2\log_{\frac{1}{2}}m=\log_{\frac{1}{2}}(1 - n)$，所以$\log_{2}m=\log_{2}(1 - n)$，所以$m + n = 1$，所以$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{9}{n})\cdot(m + n)=10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}\geqslant10 + 2\sqrt{\frac{n}{m}\times\frac{9m}{n}}=16$，当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{9m}{n}$，即$m=\frac{1}{4}$，$n=\frac{3}{4}$时，等号成立，所以$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值是16。故选B。]

8.已知$a ＞ 0,b ＞ 0$,定义$H(a,b)=\max\{a + 2^{2 - b},\frac{9}{a}+2^{b}\}$,则$H(a,b)$的最小值是( )
A.5
B.6
C.8
D.1

答案： 8.A [由定义$H(a,b)=\max\{a + 2^{2 - b},\frac{9}{a}+2^{b}\}$，得$\begin{cases}H(a,b)\geqslant a + 2^{2 - b}\\H(a,b)\geqslant\frac{9}{a}+2^{b}\end{cases}$，所以$2H(a,b)\geqslant a + 2^{2 - b}+\frac{9}{a}+2^{b}=a+\frac{9}{a}+2^{2 - b}+2^{b}\geqslant2\sqrt{a\cdot\frac{9}{a}}+2\sqrt{2^{2 - b}\cdot2^{b}}=6 + 4 = 10$，当且仅当$\begin{cases}a=\frac{9}{a}\\2^{2 - b}=2^{b}\end{cases}$，即$\begin{cases}a = 3\\b = 1\end{cases}$时取等号。所以$H(a,b)\geqslant5$，即$H(a,b)$的最小值为5。]

9.(2024·福建莆田锦江中学高三第一次阶段考试)已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c\geq0$的解集为$\{ x|x\leq3或x\geq4\}$,则下列结论中正确的是( )
A.$a ＞ 0$
B.不等式$bx + c ＜ 0$的解集为$\{ x|x ＜ - 4\}$
C.不等式$cx^{2}-bx + a ＜ 0$的解集为$\{ x|x ＜ -\frac{1}{4}或x ＞ \frac{1}{3}\}$
D.$a + b + c ＞ 0$

答案： 9.AD [对于A，D，由$ax^{2}+bx + c\geqslant0$的解集为$\{x|x\leqslant3或x\geqslant4\}$，得$ax^{2}+bx + c=a(x - 3)(x - 4)=a(x^{2}-7x + 12)$，故$a＞0$，$b=-7a$，$c = 12a$，$a + b + c = 6a＞0$，故A，D正确；对于B，$bx + c＜0$，解得$x＞\frac{12}{7}$，故B错误；对于C，$cx^{2}-bx + a＜0$即$12ax^{2}+7ax + a＜0$，解得$-\frac{1}{3}＜x＜-\frac{1}{4}$，故C错误。故选AD。]

10.(2023·河北沧县中学模拟)在$\triangle ABC$中,三边长分别为$a,b,c$,且$abc = 2$,则下列结论正确的是( )
A.$a^{2}b ＜ 2 + ab^{2}$
B.$ab + a + b ＞ 2\sqrt{2}$
C.$a + b^{2}+c^{2}\geq4$
D.$a + b + c\leq2\sqrt{2}$

答案： 10.ABC [对于A，$a^{2}b＜2 + ab^{2}$，即$a^{2}b - ab^{2}＜2$，也就是$ab(a - b)＜2 = abc$，在$\triangle ABC$中，$ab＞0$，$a - b ＜ c$，则$ab(a - b)＜abc$成立，故A正确；对于B，$ab + a + b＞ab + c\geqslant2\sqrt{abc}=2\sqrt{2}$，故B正确；对于C，$a + b^{2}+c^{2}\geqslant a + 2bc\geqslant2\sqrt{abc}=4$，当且仅当$a = 2$，$b = c = 1$时取等号，故C正确；对于D，边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$的三角形，满足$abc = 2$，但$a + b + c=1 + 2\sqrt{2}＞2\sqrt{2}$，故D错误。]

11.已知$a,b$为正实数,则下列命题正确的是( )
A.若$a^{2}-b^{2}=1$,则$a - b ＜ 1$
B.若$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$,则$a - b ＜ 1$
C.若$e^{a}-e^{b}=1$,则$a - b ＜ 1$
D.若$\ln a-\ln b = 1$,则$a - b ＜ 1$

答案： 11.AC [当$a^{2}-b^{2}=1$时，$(a - b)(a + b)=1$，$\because a＞0$，$b＞0$，$\therefore0 ＜ a - b ＜ a + b$，$\therefore a - b=\frac{1}{a + b}＜1$，故A正确；当$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$时，不妨取$a = 3$，$b=\frac{3}{4}$满足条件，则$a - b=\frac{9}{4}＞1$，故B错误；由$e^{a}-e^{b}=1$，可得$e^{a - b + b}-e^{b}=e^{b}(e^{a - b}-1)=1$，$\because b＞0$，$\therefore e^{b}＞1$，$\therefore e^{a - b}-1＜1$，即$e^{a - b}＜2$，$\therefore a - b＜\ln2＜\ln e = 1$，故C正确；不妨取$a = e^{2}$，$b = e$满足条件，则$a - b=e^{2}-e＞1$，故D错误。故选AC。]

12.已知集合$A = \{ x\in\mathbf{N}|\frac{1}{3}＜x＜4\},B = \{ x|ax - 1\geq0\}$,若$A\cup B = B$,则实数$a$的取值范围为______.

答案： 12.答案$[1,+\infty)$
解析 $\because A\cup B = B$，$\therefore A\subseteq B$，当$a = 0$时，$B=\varnothing$，不满足$A\subseteq B$，舍去；当$a＞0$时，$B=\{x|x\geqslant\frac{1}{a}\}$，要使$A\subseteq B$，则$\frac{1}{a}\leqslant1$，解得$a\geqslant1$；当$a＜0$时，$B=\{x|x\leqslant\frac{1}{a}\}$，此时$\frac{1}{a}＜0$，不满足$A\subseteq B$，舍去。综上，实数$a$的取值范围为$[1,+\infty)$。

13.(2023·北京西城区期末)已知三个不等式:①$ab ＞ 0$;②$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$;③$bc ＞ ad$.若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成______个正确命题.

答案： 13.答案 3
解析 将不等式②等价变形，$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}\Leftrightarrow\frac{bc - ad}{ab}＞0$。由$ab＞0$，$bc＞ad$，可得②成立，即①③$\Rightarrow$②；若$ab＞0$，$\frac{bc - ad}{ab}＞0$，则$bc＞ad$，故①②$\Rightarrow$③；若$bc＞ad$，$\frac{bc - ad}{ab}＞0$，则$ab＞0$，故②③$\Rightarrow$①。所以可以组成3个正确命题。

14.(2023·山东师范大学附中模拟)已知随机变量$X\sim N(4,\sigma^{2})$,且$P(X\leq3)=P(X\geq a + 1)$,则$\frac{1}{x}+\frac{4}{a - x}(0 ＜ x ＜ a)$的最小值为______.

答案： 14.答案 $\frac{9}{4}$
解析 由正态分布的对称性可知$3 + a + 1=2\times4$，解得$a = 4$，因为$0 ＜ x ＜ 4$，所以$4 - x＞0$，由基本不等式得$\frac{1}{x}+\frac{4}{4 - x}=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{4}{4 - x})[x+(4 - x)]=\frac{1}{4}(1+\frac{4 - x}{x}+\frac{4x}{4 - x}+4)\geqslant\frac{1}{4}(5 + 2\sqrt{\frac{4 - x}{x}\cdot\frac{4x}{4 - x}})=\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{4 - x}{x}=\frac{4x}{4 - x}$，即$x=\frac{4}{3}$时等号成立，所以原不等式的最小值为$\frac{9}{4}$。