《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 已知函数$f(x)=\begin{cases}e^{x - 3}+1,x\geqslant3\\f(x + 1),x＜3\end{cases}$，则$f(\ln 2)=$ ( )
A. 2
B. 3
C. $\frac{2}{e}+1$
D. $\frac{2}{e^{2}}+1$

答案： 1.B [f(ln 2)=f(1+ln 2)=f(2+ln 2)=f(3+ln 2)=3.]

2. (2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是 ( )
A. $y=\sqrt{x - 1}-1$
B. $y = |\ln x|$
C. $y=\frac{1}{3^{x}-1}$
D. $y=\frac{x + 1}{x - 1}$

答案： 2.D [对于A，要使函数y = √(x - 1) - 1有意义，则x - 1≥0，解得x≥1，则该函数的定义域为[1，+∞)，当x≥1时，√(x - 1)≥0，则y = √(x - 1) - 1≥ - 1，即该函数的值域为[-1，+∞)，故A不满足题意；对于B，要使函数y = |ln x|有意义，则真数x＞0，故该函数的定义域为(0，+∞)，又|ln x|≥0，即该函数的值域为[0，+∞)，故B不满足题意；对于C，要使函数y = 1/(3^x - 1)有意义，则3^x - 1≠0，解得x≠0，故该函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，因为3＞1，所以函数y = 3^x - 1为增函数，当x∈(-∞，0)时，-1＜3^x - 1＜0，此时y = 1/(3^x - 1)＜ - 1，当x∈(0，+∞)时，3^x - 1＞0，此时y = 1/(3^x - 1)＞0，即该函数的值域为(-∞，-1)∪(0，+∞)，故C不满足题意；对于D，要使函数y=(x + 1)/(x - 1)有意义，则x - 1≠0，解得x≠1，故该函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，因为y=(x + 1)/(x - 1)=(x - 1 + 2)/(x - 1)=1 + 2/(x - 1)，显然2/(x - 1)≠0，即y≠1，则该函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞)，故D满足题意.故选D.]

3. (2024·河南周口、项城五校高三联考)函数$f(x)=\frac{3x}{e^{x}-e^{-x}}$的大致图象是 ( )

答案： 3.A [因为f(-x)=(-3x)/(e^(-x) - e^x)=(3x)/(e^x - e^(-x))=f(x)，且该函数的定义域为{x|x≠0}，所以f(x)是偶函数，排除D；当x＞0时，e^x＞1＞e^(-x)，即e^x - e^(-x)＞0，此时f(x)＞0，排除C；当x趋向于+∞时，3x，e^x - e^(-x)均趋向于+∞，但随着x的增大，e^x - e^(-x)的增速比3x快，所以f(x)趋向于0，排除B.故选A.]

4. (2024·重庆渝北中学高三上学期月考)按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70％，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口. Peukert于1898年提出蓄电池的容量$C$(单位：Ah)，放电时间$t$(单位：h)与放电电流$I$(单位：A)之间关系的经验公式：$C = I^{n}\cdot t$，其中$n$为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数$n$，在电池容量不变的条件下，当放电电流$I = 20\ A$时，放电时间$t = 20\ h$；当放电电流$I = 30\ A$时，放电时间$t = 10\ h$. 则该蓄电池的Peukert常数$n$大约为(参考数据：$\lg 2\approx0.30,\lg 3\approx0.48$) ( )
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{5}{3}$
C. $\frac{8}{3}$
D. 2

答案： 4.B [根据题意，可得C = 20^n·20，C = 30^n·10，两式相比，得(20^n·20)/(30^n·10)=1，即(2/3)^n=1/2，所以n = log_(2/3)(1/2)=log_(2/3)2=(lg 2)/(lg(2/3))=(lg 2)/(lg 3 - lg 2)≈(0.3)/(0.48 - 0.3)=5/3.故选B.]