《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1.（2023·全国乙卷）已知椭圆C：$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{3}$，点A(-2,0)在C上.
　(1)求C的方程；
　(2)过点(-2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.

答案： 解 （1）由题意可得$\begin{cases}b = 2,\\a^{2}=b^{2}+c^{2},\\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 3,\\b = 2,\\c=\sqrt{5},\end{cases}$
所以$C$的方程为$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$.
（2）证明：由题意可知，直线$PQ$的斜率存在，设直线$PQ:y = k(x + 2)+3$，$P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，联立方程$\begin{cases}y = k(x + 2)+3,\\\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1,\end{cases}$消去$y$得$(4k^{2}+9)x^{2}+8k(2k + 3)x + 16(k^{2}+3k)=0$，
则$\Delta=64k^{2}(2k + 3)^{2}-64(4k^{2}+9)(k^{2}+3k)=-1728k＞0$，解得$k＜0$，
可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{8k(2k + 3)}{4k^{2}+9}$，$x_{1}x_{2}=\frac{16(k^{2}+3k)}{4k^{2}+9}$，
因为$A(-2,0)$，则直线$AP:y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x + 2)$，
令$x = 0$，解得$y=\frac{2y_{1}}{x_{1}+2}$，即$M(0,\frac{2y_{1}}{x_{1}+2})$，
同理可得$N(0,\frac{2y_{2}}{x_{2}+2})$，
则$\frac{\frac{2y_{1}}{x_{1}+2}+\frac{2y_{2}}{x_{2}+2}}{2}=\frac{k(x_{1}+2)+3}{x_{1}+2}+\frac{k(x_{2}+2)+3}{x_{2}+2}$
$=\frac{[kx_{1}+(2k + 3)](x_{2}+2)+[kx_{2}+(2k + 3)](x_{1}+2)}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$
$=\frac{2kx_{1}x_{2}+(4k + 3)(x_{1}+x_{2})+4(2k + 3)}{x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4}$
$=\frac{\frac{32k(k^{2}+3k)}{4k^{2}+9}-\frac{8k(4k + 3)(2k + 3)}{4k^{2}+9}+4(2k + 3)}{\frac{16(k^{2}+3k)}{4k^{2}+9}-\frac{16k(2k + 3)}{4k^{2}+9}+4}=\frac{108}{36}=3$，
所以线段$MN$的中点是定点$(0,3)$.