《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

14.（2023·湖南普通高中高三统一考试）如图，在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，若$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{DE}=$（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
B. $\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$
C. $\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
D. $\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$

答案： $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}$. 故选B.

15.（2023·广东金山中学高三期中）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,m)$，$\boldsymbol{b}=(-1,1)$，$\boldsymbol{c}=(3,0)$，若$\boldsymbol{a}//(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，则$m =$（ ）
A. -1
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. -2

答案： 因为$\boldsymbol{a}=(1,m)$，$\boldsymbol{b}=(-1,1)$，$\boldsymbol{c}=(3,0)$，所以$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=(-1,1)+(3,0)=(2,1)$，又$\boldsymbol{a}//(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，所以$2m = 1\times1$，解得$m=\frac{1}{2}$. 故选B.

16.（2024·湖北部分名校高三开学考试）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(1,1)$，向量$\boldsymbol{c}$满足$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$，$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})//\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{c}| =$（ ）
A. $3\sqrt{5}$
B. $4\sqrt{3}$
C. $\sqrt{10}$
D. $\sqrt{5}$

答案： 设$\boldsymbol{c}=(x,y)$，依题意可得$\begin{cases}y = 2x\\1 + x = 2 + y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = - 1\\y = - 2\end{cases}$，$\therefore\boldsymbol{c}=(-1,-2)$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$.

17.（2024·广东湛江一中高三开学考试）在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$的中点，$M$为$AD$的中点，$\overrightarrow{BM}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则$m + n =$（ ）
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. -1

答案： 因为$D$是$BC$的中点，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$. 又因为$M$是$AD$的中点，所以$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{BM}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，所以$m = -\frac{3}{4}$，$n=\frac{1}{4}$，所以$m + n = -\frac{1}{2}$. 故选A.

18.（2024·河北衡水十三中高三开学考试）如图，扇形的半径为1，且$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，点$C$在弧$AB$上运动，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则$2x + 3y$的最大值是（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $\sqrt{13}$
B. $\sqrt{10}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{5}$

答案： 依题意，以$O$为原点，$OA$，$OB$所在直线分别为$x$，$y$轴，建立平面直角坐标系，如图，设$\angle AOC=\theta$，则$C(\cos\theta,\sin\theta)$，$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\because A(1,0)$，$B(0,1)$，$\therefore\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,1)$，$\overrightarrow{OC}=(\cos\theta,\sin\theta)$. $\because\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，$\therefore(\cos\theta,\sin\theta)=x(1,0)+y(0,1)=(x,y)$，$\therefore x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，$\therefore2x + 3y = 2\cos\theta+3\sin\theta=\sqrt{13}\sin(\theta+\varphi)$，其中$\tan\varphi=\frac{2}{3}$，$\therefore2x + 3y\leqslant\sqrt{13}$，当且仅当$\sin(\theta+\varphi)=1$时取等号，$\therefore2x + 3y$的最大值是$\sqrt{13}$. 故选A.

19.（2023·广东广州高三期末）如图是由等边三角形$AIE$和等边三角形$KGC$构成的六角星，图中的$B$，$D$，$F$，$H$，$J$，$L$均为三等分点，两个等边三角形的中心均为$O$. 若$\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OJ}$，则$\frac{m}{n}=$（ ）
　　　　　　　　　
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. 1

答案： 解法一：由平行四边形法则，得$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OJ}=2(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OJ})+\overrightarrow{OJ}=2\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OJ}$，所以$m = 2$，$n = 3$，所以$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$. 故选B.
解法二：以$O$为坐标原点，$OD$，$OA$所在直线分别为$x$，$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为$2\sqrt{3}$，则等边三角形的高为$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 3$，由$B$，$D$，$F$，$H$，$J$，$L$均为三等分点，得$OA=\frac{2}{3}\times3 = 2$，$OJ=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以$A(0,2)$，$J(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)$，$C(\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{OA}=(0,2)$，$\overrightarrow{OC}=(\sqrt{3},1)$，$\overrightarrow{OJ}=(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)$，$\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OJ}=m(\sqrt{3},1)+n(-\frac{2\sqrt{3}}{3},0)=(\sqrt{3}m-\frac{2\sqrt{3}n}{3},m)$，所以$\begin{cases}\sqrt{3}m-\frac{2\sqrt{3}n}{3}=0\\m = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}n = 3\\m = 2\end{cases}$，所以$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$. 故选B.