《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7. 已知函数$f(x)=2^{x}-2^{-x}$，则不等式$f(2x)+f(x^{2}-x)＞0$的解集为（ ）
A. $(0,1)$
B. $(-3,0)$
C. $(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$
D. $(-\infty,0)\cup(3,+\infty)$

答案： C　[因为函数f(x)=2^x - 2^(-x)的定义域为R，f(-x)=2^(-x) - 2^x=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，且是R上的增函数，f(2x)+f(x^2 - x)＞0⇔f(x^2 - x)＞f(-2x)，于是得x^2 - x ＞ -2x，解得x ＜ -1或x ＞ 0，所以所求不等式的解集是(-∞，-1)∪(0，+∞).]

8.（多选）设函数$f(x)=2^{x}$，对于任意的$x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$，下列命题中正确的是（ ）
A. $f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})\cdot f(x_{2})$ B. $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$
C. $\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞0$ D. $f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})＜\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$

答案： ACD　[因为2^(x_1)·2^(x_2)=2^(x_1 + x_2)，故A正确；因为2^(x_1)+2^(x_2)≠2^(x_1·x_2)，故B错误；函数f(x)=2^x在R上是增函数，若x_1 ＞ x_2，则f(x_1)＞f(x_2)，则(f(x_1)-f(x_2))/(x_1 - x_2)＞0，若x_1 ＜ x_2，则f(x_1)＜f(x_2)，则(f(x_1)-f(x_2))/(x_1 - x_2)＞0，故C正确；(f(x_1)+f(x_2))/2=(2^(x_1)+2^(x_2))/2≥√(2^(x_1)·2^(x_2))=2^((x_1 + x_2)/2)=f((x_1 + x_2)/2)，又x_1≠x_2，所以f((x_1 + x_2)/2)＜(f(x_1)+f(x_2))/2，故D正确.故选ACD.]

9.（多选）已知函数$f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}$，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数$f(x)$的图象关于原点对称
B. 函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称
C. 函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$
D. $\forall x_{1},x_{2}\in\mathbf{R}$，且$x_{1}\neq x_{2}$，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜0$

答案： AC [f(-x)=(3^(-x) - 1)/(3^(-x)+1)=(1 - 3^x)/(3^x + 1)=-f(x)，所以函数为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故A正确，B错误；设y=(3^x - 1)/(3^x + 1)，整理得3^x=(1 + y)/(1 - y)，所以(1 + y)/(1 - y)＞0，即(y + 1)/(y - 1)＜0，解得-1 ＜ y ＜ 1，所以函数f(x)的值域为(-1，1)，故C正确；因为∀x_1，x_2∈R，且x_1≠x_2，若(f(x_1)-f(x_2))/(x_1 - x_2)＜0，则该函数为减函数，而f(x)=(3^x - 1)/(3^x + 1)=1 - 2/(3^x + 1)为增函数，故D错误.]

10. 化简：$2\times(\sqrt[3]{2}\times\sqrt{3})^{6}+(\sqrt{2\sqrt{2}})^{\frac{4}{3}}-4\times(\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}-\sqrt[4]{2}\times8^{0.25}+(-2024)^{0}=$_______.

答案： 答案　214
解析　原式 = 2×(2^(1/3)×3^(1/2))^6+(2^(1/2)×2^(1/4))^(1/3)-4×3/4 - 2^(1/2)×2^(1/2)+1 = 2×2^2×3^3+2 - 3 - 2 + 1 = 214.

11. 若函数$y = a^{x + 1}+1(a＞0$，且$a\neq1)$的图象恒过点$P(m,n)$，则函数$f(x)=(\frac{1}{4})^{x}-(\frac{1}{2})^{x}+1$在$[m,n]$上的最小值是_______.

答案： 答案　3/4
解析　函数y = a^(x + 1)+1(a ＞ 0，且a≠1)的图象恒过点(-1，2)，则m = -1，n = 2，令t=(1/2)^x，则1/4≤t≤2，故f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x + 1在[-1，2]上的最小值，即g(t)=t^2 - t + 1=(t - 1/2)^2+3/4在[1/4，2]上的最小值，当t = 1/2时，g(t)_min = 3/4，则函数f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x + 1在[m，n]上的最小值是3/4.

12.（2023·全国乙卷）已知$f(x)=\frac{x\text{e}^{x}}{\text{e}^{ax}-1}$是偶函数，则$a =$（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： D [因为f(x)=(xe^x)/(e^(ax)-1)是偶函数，所以f(x)-f(-x)=(xe^x)/(e^(ax)-1)-((-x)e^(-x))/(e^(-ax)-1)=(x[e^x - e^((a - 1)x)])/(e^(ax)-1)=0，又因为x不恒为0，可得e^x - e^((a - 1)x)=0，即e^x = e^((a - 1)x)，则x=(a - 1)x，即1 = a - 1，解得a = 2.故选D.]

13.（2023·新课标Ⅰ卷）设函数$f(x)=2^{x(x - a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-2]$
B. $[-2,0)$
C. $(0,2]$
D. $[2,+\infty)$

答案： D [函数y = 2^x在R上单调递增，而函数f(x)=2^(x(x - a))在区间(0，1)上单调递减，则函数y = x(x - a)=(x - a/2)^2 - a^2/4在区间(0，1)上单调递减，因此a/2≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞).故选D.]

14.（2023·天津高考）若$a = 1.01^{0.5},b = 1.01^{0.6},c = 0.6^{0.5}$，则$a,b,c$的大小关系为（ ）
A. $c＞a＞b$
B. $c＞b＞a$
C. $a＞b＞c$
D. $b＞a＞c$

答案： D [解法一：因为函数f(x)=1.01^x是增函数，且0.6 ＞ 0.5 ＞ 0，所以1.01^(0.6)＞1.01^(0.5)＞1，即b ＞ a ＞ 1.因为函数φ(x)=0.6^x是减函数，且0.5 ＞ 0，所以0.6^(0.5)＜0.6^0 = 1，即c ＜ 1.综上，b ＞ a ＞ c.故选D.
解法二：因为函数f(x)=1.01^x是增函数，且0.6 ＞ 0.5，所以1.01^(0.6)＞1.01^(0.5)，即b ＞ a.因为函数h(x)=x^(0.5)在(0，+∞)上单调递增，且1.01 ＞ 0.6 ＞ 0，所以1.01^(0.5)＞0.6^(0.5)，即a ＞ c.综上，b ＞ a ＞ c.故选D.]

15.（2023·全国甲卷）已知函数$f(x)=\text{e}^{-(x - 1)^{2}}$. 记$a = f(\frac{\sqrt{2}}{2}),b = f(\frac{\sqrt{3}}{2}),c = f(\frac{\sqrt{6}}{2})$，则（ ）
A. $b＞c＞a$
B. $b＞a＞c$
C. $c＞b＞a$
D. $c＞a＞b$

答案： A [函数f(x)=e^(-(x - 1)^2)是由函数y = e^u和u = -(x - 1)^2复合而成的复合函数，y = e^u为R上的增函数，u = -(x - 1)^2在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x = 1对称，所以c = f(√6/2)=f(2 - √6/2)，又√2/2＜2 - √6/2＜√3/2＜1，所以f(√2/2)＜f(2 - √6/2)＜f(√3/2)，所以b ＞ c ＞ a.故选A.]

16.（2020·全国Ⅲ卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$I(t)$（$t$的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\text{e}^{-0.23(t - 53)}}$，其中$K$为最大确诊病例数. 当$I(t^{*}) = 0.95K$时，标志着已初步遏制疫情，则$t^{*}$约为$(\ln19\approx3)$（ ）
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69

答案： C [因为I(t)=K/(1 + e^(-0.23(t - 53)))，所以I(t^*)=K/(1 + e^(-0.23(t^* - 53)))=0.95K，则e^(0.23(t^* - 53))=19，所以0.23(t^* - 53)=ln 19≈3，解得t^*≈3/0.23+53≈66.故选C.]