《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

15.(本小题满分13分)已知$a ＞ 1,b ＞ 1,M=\frac{a^{2}}{a - 1}+\frac{b^{2}}{b - 1},N=\frac{b^{2}}{a - 1}+\frac{a^{2}}{b - 1}$.
(1)试比较$M$与$N$的大小;
(2)分别求$M,N$的最小值.

答案： 15.解
(1)$M - N=\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{b^{2}}{a - 1}+\frac{b^{2}}{b - 1}-\frac{a^{2}}{b - 1}=-\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{(a - 1)(b - 1)}$，因为$a＞1$，$b＞1$，所以$a + b＞0$，$a - 1＞0$，$b - 1＞0$，$(a - b)^{2}\geqslant0$，所以$-\frac{(a - b)^{2}(a + b)}{(a - 1)(b - 1)}\leqslant0$，所以$M\leqslant N$。
(2)因为$M=\frac{a^{2}}{a - 1}+\frac{b^{2}}{b - 1}=\frac{[(a - 1)+1]^{2}}{a - 1}+\frac{[(b - 1)+1]^{2}}{b - 1}=a - 1+\frac{1}{a - 1}+b - 1+\frac{1}{b - 1}+4\geqslant2\sqrt{(a - 1)\times\frac{1}{a - 1}}+2\sqrt{(b - 1)\times\frac{1}{b - 1}}+4 = 8$，当且仅当$a = b = 2$时取等号，又由
(1)$M\leqslant N$，所以$M$，$N$的最小值都是8。

16.(2023·河南商丘高三期末)(本小题满分14分)已知命题$p$:$x^{2}-(2a - 3)x - 6a\leq0(a ＞ 0)$,命题$q$:$(\log_{2}x + 1)(\log_{2}x - 3)＜0$.
(1)当$a = 1$时,$p$和$q$均是真命题,求实数$x$的取值范围;
(2)若$q$是$p$的充分条件,求实数$a$的取值范围.

答案： 16.解
(1)当$a = 1$时，$x^{2}-(2a - 3)x - 6a\leqslant0$即为$x^{2}+x - 6\leqslant0$，解得$-3\leqslant x\leqslant2$。$(\log_{2}x + 1)(\log_{2}x - 3)＜0$，解得$\frac{1}{2}＜x＜8$。当$p$和$q$均是真命题时，$\frac{1}{2}＜x\leqslant2$。故实数$x$的取值范围是$(\frac{1}{2},2]$。
(2)由$x^{2}-(2a - 3)x - 6a\leqslant0$，解得$-3\leqslant x\leqslant2a$。若$q$是$p$的充分条件，则$\{x|\frac{1}{2}＜x＜8\}\subseteq\{x|-3\leqslant x\leqslant2a\}$，所以$2a\geqslant8$，解得$a\geqslant4$。故实数$a$的取值范围是$[4,+\infty)$。