《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

13.（2021·北京高考）函数$f(x)=\cos x-\cos 2x$，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2
B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为$\frac{9}{8}$
D. 偶函数，最大值为$\frac{9}{8}$

答案： D [因为f( - x)=cos( - x) - cos( - 2x)=cosx - cos2x = f(x)，且函数定义域为R，所以该函数为偶函数，又f(x)=cosx - cos2x = - 2cos²x + cosx + 1 = - 2$(\cos x-\frac{1}{4})^2+\frac{9}{8}$，所以当cosx = $\frac{1}{4}$时，f(x)取最大值$\frac{9}{8}$. 故选D.]

14.（2019·全国Ⅱ卷）若$x_{1}=\frac{\pi}{4}$，$x_{2}=\frac{3\pi}{4}$是函数$f(x)=\sin\omega x(\omega＞0)$两个相邻的极值点，则$\omega =$（ ）
A. 2
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{2}$

答案： A [由题意及函数y = sin$\omega$x的图象与性质可知，$\frac{1}{2}$T = $\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}$，
∴T = $\pi$，
∴$\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，
∴$\omega$=2. 故选A.]

15.（2019·全国Ⅰ卷）关于函数$f(x)=\sin|x|+|\sin x|$有下述四个结论：
①$f(x)$是偶函数；②$f(x)$在区间$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$单调递增；③$f(x)$在$[-\pi,\pi]$有4个零点；④$f(x)$的最大值为2。
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③

答案： C [①中，f( - x)=sin| - x|+|sin( - x)| = sin|x|+|sinx| = f(x)，且函数的定义域为R，
∴f(x)是偶函数，①正确. ②中，当x∈$(\frac{\pi}{2},\pi)$时，f(x)=sinx + sinx = 2sinx，函数单调递减，②错误. ③中，当x = 0时，f(x)=0，当x∈(0,$\pi$)时，f(x)=2sinx，令f(x)=0，得x = $\pi$. 又f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[ - $\pi$,$\pi$]上有3个零点，③错误. ④中，
∵sin|x|≤|sinx|，
∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x = $\frac{\pi}{2}+2k\pi$(k∈N)或x = - $\frac{\pi}{2}-2k\pi$(k∈N)时，f(x)能取得最大值2，故④正确. 综上，①④正确. 故选C.]

16.（2020·全国Ⅲ卷）关于函数$f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$有如下四个命题：
①$f(x)$的图象关于$y$轴对称；
②$f(x)$的图象关于原点对称；
③$f(x)$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{2}$对称；
④$f(x)$的最小值为2。
其中所有真命题的序号是 。

答案： 答案 ②③
解析 函数f(x)的定义域为$\{x|x\neq k\pi,k\in Z\}$，定义域关于原点对称，f( - x)=sin( - x)+$\frac{1}{\sin(-x)}$= - sinx - $\frac{1}{\sin x}$= - $(\sin x+\frac{1}{\sin x})$= - f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f$(\frac{\pi}{2}-x)$=sin$(\frac{\pi}{2}-x)$+$\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}$=cosx + $\frac{1}{\cos x}$，f$(\frac{\pi}{2}+x)$=sin$(\frac{\pi}{2}+x)$+$\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}+x)}$=cosx + $\frac{1}{\cos x}$，则f$(\frac{\pi}{2}-x)$=f$(\frac{\pi}{2}+x)$，所以函数f(x)的图象关于直线x = $\frac{\pi}{2}$对称，命题③正确；对于命题④，当 - $\pi$ ＜ x ＜ 0时，sinx ＜ 0，则f(x)=sinx+$\frac{1}{\sin x}$＜0＜2，命题④错误.

17.（2024·广东南粤名校高三联考）函数$y = |\cos x|$的一个单调递减区间是（ ）
A. $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$
B. $\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$
C. $\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$
D. $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

答案：
C [画出y = |cosx|的图象，如图，由图可知，函数y = |cosx|的一个单调递减区间为$(\pi,\frac{3\pi}{2})$.

故选C.]

18.（2023·河南省部分名校高三月考）“函数$f(x)=\sin 2x+(a^{2}-1)\cdot\cos x$为奇函数”是“$a = 1$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B [因为函数f(x)=sin2x+(a² - 1)cosx是定义域为R的奇函数，则∀x∈R，f(x)+f( - x)=0，于是得2(a² - 1)cosx = 0，而cosx不恒为0，则有a² - 1 = 0，解得a = ±1，因此，当a = 1时，f(x)是奇函数，而f(x)是奇函数时，a可以为 - 1，所以“函数f(x)=sin2x+(a² - 1)cosx为奇函数”是“a = 1”的必要不充分条件. 故选B.]

19.（2024·北京海淀人大附中高三质量检测）已知函数$f(x)=\frac{1}{\sin|x|}+\frac{1}{\cos x}$，给出下列结论：
①$2\pi$是$f(x)$的一个周期；
②$f(x)$的图象关于直线$x = \frac{\pi}{4}$对称；
③$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$上无最大值。
其中正确结论的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B [因为f$(-\frac{\pi}{4})$=$\frac{1}{\sin|-\frac{\pi}{4}|}+\frac{1}{\cos(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{\cos\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，f$(\frac{7\pi}{4})$=$\frac{1}{\sin\frac{7\pi}{4}}+\frac{1}{\cos\frac{7\pi}{4}}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$，所以f$(-\frac{\pi}{4})\neq f(\frac{7\pi}{4})$，可得2$\pi$不是f(x)的一个周期，故①错误；又f$(\frac{3\pi}{4})$=$\frac{1}{\sin\frac{3\pi}{4}}+\frac{1}{\cos\frac{3\pi}{4}}=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$，所以f$(-\frac{\pi}{4})\neq f(\frac{3\pi}{4})$，所以f(x)的图象不关于直线x = $\frac{\pi}{4}$对称，故②错误；f(x)= - $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x - \cos x}{1 - (\sin x - \cos x)^2}=\frac{2(\sin x - \cos x)}{1 - (\sin x - \cos x)^2}$，x∈$(-\frac{\pi}{2},0)$，令t = sinx - cosx = $\sqrt{2}$sin$(x-\frac{\pi}{4})$，则x - $\frac{\pi}{4}$∈$(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4})$，t∈[ - $\sqrt{2}$， - 1)，y = $\frac{2t}{1 - t^2}=\frac{2}{\frac{1}{t}-t}$在t∈[ - $\sqrt{2}$， - 1)上单调递增，所以无最大值，即函数f(x)在区间$(-\frac{\pi}{2},0)$上无最大值，故③正确. 故选B.]