《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7.（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A. 若$f(x)=\sin(2x + 4)$，则$f'(x)=-2\cos(2x + 4)$
B. 若$f(x)=\text{e}^{-2x + 1}$，则$f'(x)=\text{e}^{-2x + 1}$
C. 若$f(x)=\frac{x}{\text{e}^{x}}$，则$f'(x)=\frac{1 - x}{\text{e}^{x}}$
D. 若$f(x)=x\ln x$，则$f'(x)=\ln x + 1$

答案： CD [若$f(x)=\sin(2x + 4)$，则$f'(x)=2\cos(2x + 4)$，A错误；若$f(x)=e^{-2x + 1}$，则$f'(x)=-2e^{-2x + 1}$，B错误；若$f(x)=\frac{x}{e^{x}}$，则$f'(x)=\frac{e^{x}-xe^{x}}{(e^{x})^2}=\frac{1 - x}{e^{x}}$，C正确；若$f(x)=x\ln x$，则$f'(x)=\ln x + 1$，D正确.]

8.（多选）$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上连续可导函数，其导函数为$f'(x)$，下列命题中正确的是（ ）
A. 若$f(x)=f(-x)$，则$f'(x)=-f'(-x)$
B. 若$f'(x)=f'(x + T)(T\neq0)$，则$f(x)=f(x + T)$
C. 若$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称，则$f'(x)$的图象关于直线$x = a$对称
D. 若$f(-1 + x)+f(-1 - x)=2$，$f'(x + 2)$的图象关于原点对称，则$f(-1)+f'(2)=1$

答案： ACD [对于A，由$f(x)=f(-x)$，根据导数的运算法则，可得$f'(x)=-f'(-x)$，所以A正确；对于B，例如，函数$f(x)=x$，可得$f'(x)=1$，此时满足$f'(x)=f'(x + T)(T\neq0)$，但$f(x)\neq f(x + T)$，所以B错误；对于C，由$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称，可得$f(a + x)+f(a - x)=2b$，两边同时取导数，可得$f'(a + x)-f'(a - x)=0$，即$f'(a + x)=f'(a - x)$，所以$f'(x)$的图象关于直线$x = a$对称，所以C正确；对于D，由$f(-1 + x)+f(-1 - x)=2$，令$x = 0$，可得$f(-1)+f(-1)=2$，即$f(-1)=1$，又由$f'(x + 2)$的图象关于原点对称，令$x = 0$，可得$f'(2)=0$，所以$f(-1)+f'(2)=1$，所以D正确. 故选ACD.]

9. 在平面直角坐标系$xOy$中，$P$是曲线$y = x+\frac{4}{x}(x\gt0)$上的一个动点，则点$P$到直线$x + y = 0$的距离的最小值是________。

答案： 答案 4
解析 当直线$x + y = 0$平移到与曲线$y=x+\frac{4}{x}$相切的位置时，切点$Q$到直线$x + y = 0$的距离即点$P$到直线$x + y = 0$的距离的最小值，由$y'=1-\frac{4}{x^{2}}=-1$，得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$(舍去)，$y = 3\sqrt{2}$，则切点$Q(\sqrt{2},3\sqrt{2})$，则切点$Q$到直线$x + y = 0$的距离为$\frac{\vert\sqrt{2}+3\sqrt{2}\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=4$.

10.（2023·全国甲卷）曲线$y=\frac{\text{e}^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{\text{e}}{2})$处的切线方程为（ ）
A. $y=\frac{\text{e}}{4}x$
B. $y=\frac{\text{e}}{2}x$
C. $y=\frac{\text{e}}{4}x+\frac{\text{e}}{4}$
D. $y=\frac{\text{e}}{2}x+\frac{3\text{e}}{4}$

答案： C [设曲线$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为$y-\frac{e}{2}=k(x - 1)$，因为$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$，所以$y'=\frac{e^{x}(x + 1)-e^{x}}{(x + 1)^{2}}=\frac{xe^{x}}{(x + 1)^{2}}$，所以$k=y'\vert_{x = 1}=\frac{e}{4}$，所以$y-\frac{e}{2}=\frac{e}{4}(x - 1)$，所以曲线$y=\frac{e^{x}}{x + 1}$在点$(1,\frac{e}{2})$处的切线方程为$y=\frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$. 故选C.]

11.（2021·新高考Ⅰ卷）若过点$(a,b)$可以作曲线$y=\text{e}^{x}$的两条切线，则（ ）
A. $\text{e}^{b}\lt a$
B. $\text{e}^{a}\lt b$
C. $0\lt a\lt\text{e}^{b}$
D. $0\lt b\lt\text{e}^{a}$

答案：
D [解法一：设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，$y_{0}\gt0$，$y'=e^{x}$，则切线方程为$y - b=e^{x_{0}}(x - a)$，由$\begin{cases}y_{0}-b=e^{x_{0}}(x_{0}-a)\\y_{0}=e^{x_{0}}\end{cases}$，得$e^{x_{0}}(1 - x_{0}+a)=b$，则由题意知关于$x_{0}$的方程$e^{x_{0}}(1 - x_{0}+a)=b$有两个不同的解. 设$f(x)=e^{x}(1 - x + a)$，则$f'(x)=e^{x}(1 - x + a)-e^{x}=-e^{x}(x - a)$，由$f'(x)=0$得$x = a$，当$x\lt a$时，$f'(x)\gt0$，$f(x)$单调递增，当$x\gt a$时，$f'(x)\lt0$，$f(x)$单调递减，所以$f(x)_{\max}=f(a)=e^{a}(1 - a + a)=e^{a}$，当$x\lt a$时，$a - x\gt0$，所以$f(x)\gt0$，当$x\to-\infty$时，$f(x)\to0$，当$x\to+\infty$时，$f(x)\to-\infty$，函数$f(x)=e^{x}(1 - x + a)$的大致图象如图所示，因为$f(x)$的图象与直线$y = b$有两个交点，所以$0\lt b\lt e^{a}$. 故选D.
解法二：过点$(a,b)$可以作曲线$y = e^{x}$的两条切线，则点$(a,b)$在曲线$y = e^{x}$的下方且在$x$轴的上方，得$0\lt b\lt e^{a}$. 故选D.]

12.（2020·全国Ⅲ卷）若直线$l$与曲线$y=\sqrt{x}$和$x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$都相切，则$l$的方程为（ ）
A. $y = 2x + 1$
B. $y = 2x+\frac{1}{2}$
C. $y=\frac{1}{2}x + 1$
D. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

答案： D [设曲线$y=\sqrt{x}$的切点为$(x_{0},\sqrt{x_{0}})$，$x_{0}\gt0$，函数$y=\sqrt{x}$的导数为$y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，则直线$l$的斜率$k=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$，直线$l$的方程为$y-\sqrt{x_{0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}\cdot(x - x_{0})$，即$x - 2\sqrt{x_{0}}y+x_{0}=0$. 由于直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$相切，则$\frac{\vert x_{0}\vert}{\sqrt{1 + 4x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，两边平方并整理得$5x_{0}^{2}-4x_{0}-1 = 0$，解得$x_{0}=1$或$x_{0}=-\frac{1}{5}$(舍去)，所以直线$l$的方程为$x - 2y + 1 = 0$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$. 故选D.]

13.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，记$g(x)=f'(x)$．若$f(\frac{3}{2}-2x)$，$g(2 + x)$均为偶函数，则（ ）
A. $f(0)=0$
B. $g(-\frac{1}{2})=0$
C. $f(-1)=f(4)$
D. $g(-1)=g(2)$

答案： BC [因为$f(\frac{3}{2}-2x)$为偶函数，所以$f(\frac{3}{2}-2x)=f(\frac{3}{2}+2x)$，所以函数$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，$f(\frac{3}{2}-2\times\frac{5}{4})=f(\frac{3}{2}+2\times\frac{5}{4})$，即$f(-1)=f(4)$，故C正确；因为$f(x)$的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，所以$f(x)=f(3 - x)$，所以$f'(x)=-f'(3 - x)$，即$g(x)=-g(3 - x)$，所以$g(x)$的图象关于点$(\frac{3}{2},0)$对称，所以$g(\frac{3}{2})=0$，$g(1)=-g(2)$，又$g(2 + x)$为偶函数，所以$g(2 + x)=g(2 - x)$，函数$g(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，所以$g(x)$的周期$T = 4\times(2-\frac{3}{2})=2$，所以$g(-\frac{1}{2})=g(\frac{3}{2})=0$，$g(-1)=g(1)=-g(2)$，故B正确，D错误；不妨取$f(x)=1(x\in R)$，经验证满足题意，但$f(0)=1$，故A错误. 故选BC.]