《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

7. (多选)已知函数$f(x)=\mathrm{e}^{\vert x\vert}+\vert x\vert$，则关于x的方程$f(x)=k$的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 当$k = 1$时，方程有一个实根 B. 当$k＞1$时，方程有两个实根
C. 当$k = 0$时，方程有一个实根 D. 当$k\geq1$时，方程有实根

答案：
ABD　[方程f(x)=k化为e^|x| = k - |x|,设y1 = e^|x|,y2 = k - |x|.y2 = k - |x|表示斜率为1或 - 1的折线,折线与曲线y1 = e^|x|恰好有一个公共点时,k = 1.如图,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(1,+∞).故选ABD.
　　　　　　　

8. (多选)已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}-2x,x\leq0\\\vert\log_{2}x\vert,x＞0\end{cases}$，若$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$，且$f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=f(x_{4})$，则下列结论正确的是（ ）
A. $x_{1}+x_{2}=-1$ B. $x_{3}x_{4}=1$
C. $1＜x_{4}＜2$ D. $0＜x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}＜1$

答案：
BCD [画出函数f(x)的大致图象如右图,得出x1 + x2 = - 2, - log2x3 = log2x4,则x3x4 = 1,A不正确,B正确;由图可知1＜x4＜2,C正确;因为 - 2＜x1＜ - 1,x1x2 = x1( - 2 - x1)= - x1² - 2x1 = - (x1 + 1)² + 1∈(0,1),所以x1x2x3x4 = x1x2∈(0,1),D正确.故选BCD.
　　　　　　　　　　　　　　　

9. 已知$f(x)=x^{2}+(a^{2}-1)x+(a - 2)$的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是_______.

答案：
答案　( - 2,1)
解析　函数f(x)的大致图象如图所示,则f
(1)＜0,即1 + (a² - 1)+ a - 2＜0,得 - 2＜a＜1.故实数a的取值范围是( - 2,1).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10. 已知函数$f(x)$是定义域为R的奇函数，满足$f(x)+f(2 - x)=0$，且当$x\in(0,1)$时，$f(x)=x^{2}$，则$f(1)=$_______；若$g(x)=f(x)-\lg x$，则函数$g(x)$的零点共有_______个.

答案：
答案　0　5
解析　由f(x)+f(2 - x)=0,令x = 1,则f
(1)+f
(1)=0,解得f
(1)=0.由f(x)+f(2 - x)=0,得f(2 - x)= - f(x),因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f( - x)= - f(x),则f(2 - x)=f( - x),所以函数f(x)是以2为周期的函数,g(x)的零点个数即函数y = f(x)与y = lg x图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，由图可知两函数的图象有5个交点,即函数g(x)的零点共有5个.
　　　

11. (2019·全国Ⅲ卷)函数$f(x)=2\sin x-\sin2x$在$[0,2\pi]$的零点个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B　[令f(x)=0,得2sinx - sin2x = 0,即2sinx - 2sinxcosx = 0,
∴2sinx(1 - cosx)=0,
∴sinx = 0或cosx = 1.又x∈[0,2π],
∴由sinx = 0得x = 0,π或2π,由cosx = 1得x = 0或2π,故函数f(x)的零点为0,π,2π,共3个.故选B.]

12. (2018·全国Ⅰ卷)已知函数$f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{x},x\leq0\\\ln x,x＞0\end{cases}$，$g(x)=f(x)+x + a$. 若$g(x)$存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A. [-1,0)
B. [0,+∞)
C. [-1,+∞)
D. [1,+∞)

答案：
C　[画出函数f(x)的图象,再画出直线y = - x并上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数f(x)的图象有两个交点,并且向下无限移动,都可以保证直线与函数f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)= - x - a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足 - a≤1,即a≥ - 1.故选C.
　　　　　　　　　　　　　　

13. (2023·天津高考)若函数$f(x)=ax^{2}-2x-\vert x^{2}-ax + 1\vert$有且仅有两个零点，则a的取值范围为_______.

答案：
答案　( - ∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析　解法一:当a = 1时,函数f(x)只有一个零点 - 1,不符合题意;当a = 0时,函数f(x)只有一个零点 - 1,不符合题意;当a = - 1时,函数f(x)有两个零点,分别为 - 1和 - 1/2,符合题意.若a≠0且a≠±1,分以下两种情况:①当x² - ax + 1≥0时,f(x)=ax² - 2x - |x² - ax + 1|=ax² - 2x - (x² - ax + 1)=(a - 1)x² + (a - 2)x - 1=(x + 1)[(a - 1)x - 1],令f(x)=0,由a≠0且a≠±1,得x1 = - 1,x2 = 1/(a - 1),且x1≠x2.又x1 = - 1时,ax² - 2x - (x² - ax + 1)=a + 2 - (x² - ax + 1)=0,所以a=(x² - ax + 1)-2,则x² - ax + 1≥0时,a≥ - 2且a≠0,a≠±1;x2 = 1/(a - 1)时,ax² - 2x - (x² - ax + 1)=a/(a - 1)² - 2/(a - 1)-(x² - ax + 1)=0,所以(2 - a)/(a - 1)² = x² - ax + 1,则x² - ax + 1≥0时,a≤2且a≠0,a≠±1.②当x² - ax + 1＜0时,f(x)=ax² - 2x - |x² - ax + 1|=ax² - 2x + (x² - ax + 1)=(a + 1)x² - (a + 2)x + 1=(x - 1)[(a + 1)x - 1],令f(x)=0,由a≠0且a≠±1,得x3 = 1,x4 = 1/(a + 1),且x3≠x4.同理,x3 = 1时,x² - ax + 1＜0,则a＞2;x4 = 1/(a + 1)时,x² - ax + 1＜0,则a＜ - 2.综上,a的取值范围为( - ∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
解法二:当a = 0时,f(x)= - 2x - |x² + 1|= - x² - 2x - 1= - (x + 1)²,令f(x)=0,解得x = - 1,所以此时函数f(x)有且只有一个零点,所以a = 0不符合题意.令x² - ax + 1 = 0,当Δ = a² - 4≤0,即 - 2≤a≤2时,x² - ax + 1≥0在R上恒成立,此时f(x)=ax² - 2x - (x² - ax + 1)=(a - 1)x² + (a - 2)x - 1.当a = 1时,f(x)= - x - 1,此时函数f(x)有且仅有一个零点,不符合题意;当a≠0且a≠1时,令f(x)=0,解得x = - 1或x = 1/(a - 1),此时方程f(x)=0有两个不相等实根,即函数f(x)有且仅有两个零点,所以 - 2≤a≤2且a≠0,a≠1符合题意.当a＞2时,令y3 = y1 - y2 = ax² - 2x - x² + ax - 1 = 0,得(a - 1)x² + (a - 2)x - 1 = 0,解得x = - 1或x = 1/(a - 1),所以函数y1 = ax² - 2x和函数y2 = x² - ax + 1的图象有两个交点,当x＜ - 1或x＞1/(a - 1)时,y3＞0,即y1＞y2;当 - 1＜x＜1/(a - 1)时,y3＜0,即y1＜y2.函数y1 = ax² - 2x的图象与x轴的交点分别为点(0,0),(2/a,0),因为a＞2,所以函数y2 = x² - ax + 1的图象与x轴有两个交点,设两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),则x1,x2是方程x² - ax + 1 = 0的两根,不妨设x1＜x2,则x1x2 = 1,x1 + x2 = a＞0,所以x2＞1,0＜x1＜1.当x = 2/a时,y2 = 4/a² - a×2/a + 1 = 4/a² - 1＜0,即0＜x1＜2/a＜x2;当x = 1/(a - 1)时,y2 = 1/(a - 1)² - a/(a - 1)+ 1 = (2 - a)/(a - 1)²＜0,且1/(a - 1)＜2/a,所以0＜x1＜1/(a - 1)＜2/a＜x2.据此在同一平面直角坐标系中作出函数y1 = ax² - 2x和y2 = x² - ax + 1的图象，如图1所示.由图1可以在同一平面直角坐标系中作出函数y1 = ax² - 2x和y = |x² - ax + 1|的图象(如图2),所以函数y = |x² - ax + 1|在(x1,x2)内的图象与函数y1 = ax² - 2x的图象有一个交点,当x＜x1时,两函数图象还有一个交点,所以此时函数y = |x² - ax + 1|和函数y1 = ax² - 2x的图象有且仅有两个交点,即此时f(x)=ax² - 2x - |x² - ax + 1|有且仅有两个零点,所以a＞2符合题意.
当a＜ - 2时,在同一平面直角坐标系中作出函数y1 = ax² - 2x和y2 = x² - ax + 1的图象,如图3所示.同理可知x1＜ - 1＜2/a＜x2＜1/(a - 1),据此作出函数y = |x² - ax + 1|的图象,如图4所示,所以函数y = |x² - ax + 1|在(x1,x2)上的图象与函数y1 = ax² - 2x的图象有一个交点,当x＞x2时,两函数图象还有一个交点,所以此时函数y = |x² - ax + 1|和函数y1 = ax² - 2x的图象有且仅有两个交点,即此时f(x)=ax² - 2x - |x² - ax + 1|有且仅有两个零点,所以a＜ - 2符合题意.
　　
　　　 　
综上,a的取值范围为( - ∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).

14. (2021·北京高考)已知函数$f(x)=\vert\lg x\vert-kx - 2$，给出下列四个结论：
①若$k = 0$，则$f(x)$有两个零点；
②$\exists k＜0$，使得$f(x)$有一个零点；
③$\exists k＜0$，使得$f(x)$有三个零点；
④$\exists k＞0$，使得$f(x)$有三个零点.
以上正确结论的序号是_______.

答案：
答案　①②④
解析　对于①,当k = 0时,由f(x)=|lg x| - 2 = 0,可得x = 1/100或x = 100,①正确;对于②,考查直线y = kx + 2与曲线y = - lg x(0＜x＜1)相切于点P(t, - lg t),对函数y = - lg x求导得y' = - 1/(xln 10),由题意可得{kt + 2 = - lg t, k = - 1/(tln 10), 解得{t = e/100, k = - 100/e lg e. 所以存在k = - 100/e lg e＜0,使得f(x)只有一个零点,②正确;对于③,当直线y = kx + 2过点(1,0)时,k + 2 = 0,解得k = - 2,所以当 - 100/e lg e＜k＜ - 2时,直线y = kx + 2与曲线y = - lg x(0＜x＜1)有两个交点,若函数f(x)有三个零点,则直线y = kx + 2与曲线y = - lg x(0＜x＜1)有两个交点,直线y = kx + 2与曲线y = lg x(x≥1)有一个交点,所以{- 100/e lg e＜k＜ - 2, k + 2≥0. 此不等式无解,因此,不存在k＜0,使得函数f(x)有三个零点,③错误;对于④,考查直线y = kx + 2与曲线y = lg x(x＞1)相切于点Q(m,lg m),对函数y = lg x求导得y' = 1/(xln 10),由题意可得{km + 2 = lg m, k = 1/(mln 10), 解得{m = 100e, k = lg e/100e. 所以当0＜k＜lg e/100e时,函数f(x)有三个零点,④正确.
　　　　　　　　　　　　　　

15. (2024·重庆渝北中学高三上学期月考)函数$f(x)=\log_{2}x+x^{2}+m$在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. (-∞,-18)
B. (5,+∞)
C. (5,18)
D. (-18,-5)

答案： D [由零点存在定理可知,若函数f(x)=log2x + x² + m在区间(2,4)上存在零点,因为函数f(x)为增函数,所以只需满足f
(2)f
(4)＜0,即(m + 5)(m + 18)＜0,解得 - 18＜m＜ - 5,所以实数m的取值范围是( - 18, - 5).故选D.]