《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

5. （2023·安徽黄山统考二模）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界。目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持。据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比$a_{0}=55\%$及$b_{0}=45\%$，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的产品中仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为$a_{n}$及$b_{n}$，不考虑其他因素的影响。
（1）用$b_{n}$表示$b_{n + 1}$，并求实数$\lambda$，使$\{ b_{n}-\lambda\}$是等比数列；
（2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，求出至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：$\lg2\approx0.301$，$\lg3\approx0.477$）

答案： 解 （1）由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为$a_{0}=55\%=\frac{11}{20}$，$b_{0}=45\%=\frac{9}{20}$。
易知经过n次技术更新后$a_{n}+b_{n}=1$， 则$b_{n + 1}=(1 - 20\%)b_{n}+5\%\cdot a_{n}=\frac{4}{5}b_{n}+\frac{1}{20}(1 - b_{n})=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{20}$，
即$b_{n + 1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{20}$，
由题意，可设$b_{n + 1}-\lambda=\frac{3}{4}(b_{n}-\lambda)$， 即$b_{n + 1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{\lambda}{4}$，
所以$\frac{\lambda}{4}=\frac{1}{20}$，解得$\lambda=\frac{1}{5}$，
又$b_{1}=\frac{3}{4}b_{0}+\frac{1}{20}=\frac{3}{4}\times\frac{9}{20}+\frac{1}{20}=\frac{31}{80}$，$b_{1}-\frac{1}{5}=\frac{31}{80}-\frac{1}{5}=\frac{3}{16}$，
从而当$\lambda=\frac{1}{5}$时，$\{b_{n}-\frac{1}{5}\}$是以$\frac{3}{16}$为首项，$\frac{3}{4}$为公比的等比数列。
（2）由（1）可知$b_{n}-\frac{1}{5}=\frac{3}{16}\cdot(\frac{3}{4})^{n - 1}=\frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{n}$，$b_{n}=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{n}$，
又$a_{n}+b_{n}=1$，则$a_{n}=\frac{4}{5}-\frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{n}$，
所以经过n次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比$a_{n}=\frac{4}{5}-\frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{n}$。
由题意，令$a_{n}>75\%$，得$\frac{4}{5}-\frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{n}>\frac{3}{4}$，
即$(\frac{3}{4})^{n}<\frac{1}{5}$， 即$n\lg\frac{3}{4}<\lg\frac{1}{5}$，
则$n>\frac{-\lg5}{\lg3 - 2\lg2}=\frac{\lg5}{2\lg2-\lg3}=\frac{1 - \lg2}{2\lg2-\lg3}\approx\frac{1 - 0.301}{2\times0.301 - 0.477}=\frac{0.699}{0.125}=5.592$，
故$n\geqslant6$，即至少经过6次技术更新，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上。