《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

3.(2021·新高考Ⅱ卷)记Sₙ是公差不为0的等差数列{aₙ}的前n项和，若a₃=S₅，a₂a₄=S₄.
(1)求数列{aₙ}的通项公式；
(2)求使Sₙ＞aₙ成立的n的最小值.

答案： 解　
(1)由等差数列的性质可得，S₅ = 5a₃，
则a₃ = 5a₃，所以a₃ = 0.
设等差数列{aₙ}的公差为d，
从而有a₂a₄ = (a₃ - d)(a₃ + d) = -d²，
S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = (a₃ - 2d) + (a₃ - d) + a₃ + (a₃ + d) = -2d，
从而 - d² = -2d，由于公差不为零，故d = 2，
所以数列{aₙ}的通项公式为aₙ = a₃ + (n - 3)d = 2n - 6.
(2)由数列的通项公式可得，a₁ = 2 - 6 = -4，
则Sₙ = n×(-4) + n(n - 1)/2×2 = n² - 5n，
则不等式Sₙ ＞ aₙ，即n² - 5n ＞ 2n - 6，
整理可得，(n - 1)(n - 6) ＞ 0，
解得n ＜ 1或n ＞ 6，
又n为正整数，故n的最小值为7.

4.(2023·湖南岳阳高三第二次模拟)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₁=1，Sₙ₊₁=2Sₙ+2ⁿ⁺¹.
(1)证明数列{$\frac{Sₙ}{2ⁿ}$}是等差数列，并求数列{aₙ}的通项公式；
(2)设bₙ=$\frac{Sₙ}{3ⁿ}$，若对任意正整数n，不等式bₙ＜$\frac{m²－m+18}{27}$恒成立，求实数m的取值范围.

答案： 解　
(1)由Sₙ₊₁ = 2Sₙ + 2ⁿ⁺¹，得Sₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = Sₙ/2ⁿ + 1，
又S₁/2 = a₁/2 = 1/2，
∴数列{Sₙ/2ⁿ}是以1/2为首项，1为公差的等差数列，
∴Sₙ/2ⁿ = 1/2 + (n - 1) = (2n - 1)/2，
即Sₙ = (2n - 1)·2ⁿ⁻¹，
∴当n≥2时，
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (2n - 1)·2ⁿ⁻¹ - (2n - 3)·2ⁿ⁻² = (2n + 1)·2ⁿ⁻²，
又a₁ = 1不满足上式，
∴aₙ = {1, n = 1; (2n + 1)·2ⁿ⁻², n≥2}.
(2)由
(1)知Sₙ = (2n - 1)·2ⁿ⁻¹，
∴bₙ = (2n - 1)·2ⁿ⁻¹/3ⁿ = (n - 1/2)·(2/3)ⁿ，
∴bₙ₊₁ - bₙ = (n + 1/2)·(2/3)ⁿ⁺¹ - (n - 1/2)·(2/3)ⁿ = (5 - 2n)/6·(2/3)ⁿ，
∴当n≤2时，bₙ₊₁ ＞ bₙ；
当n≥3时，bₙ₊₁ ＜ bₙ，即b₁ ＜ b₂ ＜ b₃，且b₃ ＞ b₄ ＞ b₅ ＞ …，
∴bₙ的最大值为b₃ = 20/27，
依题意20/27 ＜ (m² - m + 18)/27，即m² - m - 2 ＞ 0，
解得m ＜ -1或m ＞ 2.
∴实数m的取值范围为{m|m ＜ -1或m ＞ 2}.