《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

1. 直线$l:y = x$被圆$C:(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 3$截得的弦长为　　(　　　)
A. 1　　　　　　B. 2　　　　　　C. 3　　　　　　D. 4

答案： B[由题意得圆心(3,1)到直线l:y=x的距离为d = $\frac{|3 - 1|}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$,故直线l:y=x被圆C:(x−3)²+(y−1)²=3截得的弦长为2$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$ = 2.故选B.]

2. 若圆$x^2 - 2x + y^2 = 0$与圆$C$关于直线$x + y = 0$对称，则圆$C$的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $x^2 + y^2 + 2x = 0$　　　　　　　B. $x^2 + y^2 - 2y = 0$
C. $x^2 + y^2 + 2y = 0$　　　　　　　D. $x^2 + y^2 - 2x = 0$

答案： C[圆x²−2x+y²=0的标准方程为(x−1)²+y²=1,其圆心为(1,0),半径为r=1.因为(1,0)关于直线x+y=0对称的点为(0,−1),所以圆C的方程为x²+(y+1)²=1,即x²+y²+2y=0.故选C.]

3. 两圆$x^2 + y^2 - 1 = 0$和$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$的位置关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 内切　　　　　B. 外离　　　　　C. 外切　　　　　D. 相交

答案： D[由题意可得两圆的标准方程分别为x²+y²=1和(x−2)²+(y+1)²=9,则两圆圆心分别为(0,0)和(2,−1),半径分别为r₁=1和r₂=3,则圆心距为d = $\sqrt{(2 - 0)^{2}+(-1 - 0)^{2}}$ = $\sqrt{5}$,则|r₁ - r₂| ＜ $\sqrt{5}$ ＜ |r₁ + r₂|,所以两圆相交.]

4. 已知$A(0, - 2),B(2,0)$，点$P$为圆$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$上任意一点，则$\triangle PAB$面积的最大值为　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 5　　　　　　B. $5 - 2\sqrt{2}$　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　D. $5 + 2\sqrt{2}$

答案： D　[圆x²+y²−2x−8y+13=0的圆心C(1,4),半径r=2,直线AB的方程为y=x−2,于是点C到直线AB:x−y−2=0的距离d = $\frac{|1 - 4 - 2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$,而点P在圆C上,因此点P到直线AB距离的最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ + 2,又|AB| = $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$,所以△PAB面积的最大值为S = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×($\frac{5\sqrt{2}}{2}$ + 2) = 5 + 2$\sqrt{2}$.故选D.]

5. 已知圆$C:x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$，直线$l$过点$(0,3)$与圆$C$交于$A$，$B$两点，若$|AB| = 2\sqrt{3}$，则直线$l$的方程为　　　　　　　　　(　　　)
A. $3x + 4y - 12 = 0$或$4x - 3y + 9 = 0$
B. $3x + 4y - 12 = 0$或$x = 0$
C. $4x - 3y + 9 = 0$或$x = 0$
D. $3x - 4y + 12 = 0$或$4x + 3y + 9 = 0$

答案： B[当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2$\sqrt{3}$,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2$\sqrt{3}$,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有$\frac{|k + 2|}{\sqrt{k^{2}+1}}$ = 1,解得k = -$\frac{3}{4}$.综上,直线l的方程为x=0或3x+4y−12=0.故选B.]

6. 若圆$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 10 = 0$上至少有三个不同点到直线$l:ax + by = 0$的距离为$2\sqrt{2}$，则直线$l$的斜率的取值范围是　　　　　(　　　)
A. $[2 - \sqrt{3},1]$　　　　　　　　　　B. $[2 - \sqrt{3},2 + \sqrt{3}]$
C. $[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$　　　　　　　　　　　D. $[0, +\infty)$

答案： B[圆x²+y²−4x−4y−10=0可化为(x−2)²+(y−2)²=18,则圆心坐标为(2,2),半径为3$\sqrt{2}$.由圆x²+y²−4x−4y−10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2$\sqrt{2}$可得,圆心到直线l:ax+by=0的距离d≤3$\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$,即$\frac{|2a + 2b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$≤$\sqrt{2}$,则a²+b²+4ab≤0　①,若b=0,不符合题意,故b≠0,则①可化为($\frac{a}{b}$)² + 1 + $\frac{4a}{b}$≤0,由于直线l的斜率k = -$\frac{a}{b}$,所以($\frac{a}{b}$)² + 1 + $\frac{4a}{b}$≤0可化为k²+1−4k≤0,解得k∈[2 - $\sqrt{3}$,2 + $\sqrt{3}$].故选B.]