《2025年高考总复习首选用卷数学人教版》

15. (本小题满分13分)已知坐标平面上动点$M(x,y)$与两个定点$P(26,1),Q(2,1)$,且$|MP| = 5|MQ|$.
(1)求点$M$的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为$C$,过点$N(-2,3)$的直线$l$被$C$所截得的线段长度为8,求直线$l$的方程.

答案： 解
(1)由题意,得$\frac{\vert MP\vert}{\vert MQ\vert}=5$,即$\frac{\sqrt{(x - 26)^{2}+(y - 1)^{2}}}{\sqrt{(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}}}=5$,化简,得$x^{2}+y^{2}-2x - 2y - 23 = 0$,所以点$M$的轨迹方程是$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=25$. 轨迹是以$(1,1)$为圆心,$5$为半径的圆.
(2)当直线$l$的斜率不存在时,得直线$l$的方程为$x=-2$,此时所截得的线段长度为$2\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 8$,符合题意.
当直线$l$的斜率存在时,设$l$的方程为$y - 3=k(x + 2)$,即$kx - y+2k + 3 = 0$,圆心$(1,1)$到直线$l$的距离$d=\frac{\vert 3k + 2\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}$.
由题意,得$(\frac{\vert 3k + 2\vert}{\sqrt{k^{2}+1}})^{2}+4^{2}=5^{2}$,解得$k=\frac{5}{12}$.
所以直线$l$的方程为$\frac{5}{12}x - y+\frac{23}{6}=0$,即$5x - 12y + 46 = 0$.
综上,直线$l$的方程为$x=-2$或$5x - 12y + 46 = 0$.

16. (2024·湖南邵东创新实验学校高三第二次月考)(本小题满分15分)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,短轴长为2.
(1)求椭圆$C$的标准方程；
(2)若直线$l:y = kx + m(k\neq0)$与椭圆$C$交于不同的两点$M,N$,且线段$MN$的垂直平分线过定点$(1,0)$,求实数$k$的取值范围.

答案： 解
(1)由题意可知,$\begin{cases}2b = 2\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$,得$\begin{cases}a = 2\\b = 1\\c=\sqrt{3}\end{cases}$,故椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$.
(2)设$M(x_{1},y_{1})$,$N(x_{2},y_{2})$,将$y = kx + m$代入椭圆方程,消去$y$,得$(1 + 4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}-4 = 0$,所以$\Delta=(8km)^{2}-4(1 + 4k^{2})(4m^{2}-4)\gt0$,即$m^{2}\lt4k^{2}+1$, ①
由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=-\frac{8km}{1 + 4k^{2}}$,则$y_{1}+y_{2}=\frac{2m}{1 + 4k^{2}}$,所以线段$MN$的中点$P$的坐标为$(-\frac{4km}{1 + 4k^{2}},\frac{m}{1 + 4k^{2}})$.
线段$MN$的垂直平分线$l'$的方程为$y=-\frac{1}{k}(x - 1)$,由点$P$在直线$l'$上,得$\frac{m}{1 + 4k^{2}}=-\frac{1}{k}(-\frac{4km}{1 + 4k^{2}}-1)$,即$4k^{2}+3km + 1 = 0$,所以$m=-\frac{1}{3k}(4k^{2}+1)$, ②
由①②得$\frac{(4k^{2}+1)^{2}}{9k^{2}}\lt4k^{2}+1$,解得$k^{2}\gt\frac{1}{5}$,即$k\lt-\frac{\sqrt{5}}{5}$或$k\gt\frac{\sqrt{5}}{5}$.
所以实数$k$的取值范围是$(-\infty,-\frac{\sqrt{5}}{5})\cup(\frac{\sqrt{5}}{5},+\infty)$.